الأعداد المركبة: جمعها وطرحها

اختبر فهمك

ما هو تعريف الوحدة التخيلية

i

أسئلة متوقعة

الأعداد المركبة — جمع وطرح — مسائل محلولة

الرياضيات — الأعداد المركبة

المسألة ١

جمع عددين مركبين

المسألة ٢

طرح عددين مركبين

١ احسب مجموع العددين المركبين

(-2 + 5i) + (1 - 7i)

الخطوة ١ — الأجزاء الحقيقية:

-2 + 1 = -1

الخطوة ٢ — الأجزاء التخيلية:

5i + (-7i) = 5i - 7i = -2i

الخطوة ٣ — الناتج النهائي:

(-2 + 5i) + (1 - 7i) = -1 - 2i

الإجابة = −1 − 2i

٢ احسب الفرق بين العددين المركبين

(4 + 6i) - (-1 + 2i)

الخطوة ١ — توزيع الإشارة السالبة:

(4 + 6i) - (-1 + 2i) = (4 + 6i) + (1 - 2i)

الخطوة ٢ — الأجزاء الحقيقية:

4 + 1 = 5

الخطوة ٣ — الأجزاء التخيلية:

6i + (-2i) = 6i - 2i = 4i

الخطوة ٤ — الناتج النهائي:

(4 + 6i) - (-1 + 2i) = 5 + 4i

الإجابة = 5 + 4i

٣ ملخص

العملية	القاعدة
الجمع	(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i
الطرح	(a+bi)−(c+di) = (a−c)+(b−d)i
تنبيه الطرح	وزّع الإشارة السالبة على القوسين أولاً

٤ الخلاصة

— قاعدة الجمع والطرح: نعمل على الأجزاء المتشابهة فقط — حقيقي مع حقيقي، تخيلي مع تخيلي.
— الطرح: وزّع الإشارة السالبة على القوسين قبل الجمع لتجنب الأخطاء.
— الناتج: دائماً على شكل a + bi حيث a و b أعداد حقيقية.

الشرح

الأعداد التخيلية والأعداد المركبة

الرياضيات — الأعداد المركبة

الوحدة التخيلية

i = √−1 , i² = −1

العدد المركب

z = a + bi

العمليات

جمع وطرح وضرب

١ الوحدة التخيلية i

— المشكلة: الجذر التربيعي لعدد سالب مثل

\sqrt{-9}

لا يوجد في الأعداد الحقيقية.
— الحل: تعريف الوحدة التخيلية i.

i = \sqrt{-1} \qquad i^2 = -1

— تطبيق على

\sqrt{-9}

: نفصل الجذر إلى جزء سالب وجزء موجب.

\sqrt{-9} = \sqrt{-1 \times 9} = \sqrt{-1} \times \sqrt{9} = i \times 3 = 3i

\sqrt{-a} = i\sqrt{a}

القاعدة العامة — لأي عدد موجب a

√−9 = 3i

٢ الأعداد المركبة

— العدد المركب هو مجموع جزء حقيقي وجزء تخيلي.

z = a + bi

a الجزء الحقيقي (عدد حقيقي عادي)

b معامل الجزء التخيلي

bi الجزء التخيلي كاملاً

— مثال: في العدد المركب

1 + 5i

:
— الجزء الحقيقي = 1، الجزء التخيلي = 5i، معامله = 5.

٣ جمع وطرح الأعداد المركبة

— نجمع أو نطرح الأجزاء المتشابهة فقط — حقيقي مع حقيقي، تخيلي مع تخيلي.

(5 + i) - (3 + 3i) = (5-3) + (1-3)i = 2 - 2i

الطرح

(5 + i) + (3 + 3i) = (5+3) + (1+3)i = 8 + 4i

الجمع

الطرح = 2 − 2i ، الجمع = 8 + 4i

٤ ضرب الأعداد المركبة

— نوزّع الضرب كما في الجبر العادي، ثم نستبدل

i^2

بـ

-1

(1 + i)(1 - i)

= 1 - i + i - i^2 = 1 - i^2

= 1 - (-1) = 2

— ضرب الأعداد المركبة قد ينتج عدداً حقيقياً بحتاً — الجزء التخيلي يتلاشى.

(1 + i)(1 − i) = 2

٥ ملخص

المفهوم	القاعدة
الوحدة التخيلية	i = √−1 ، i² = −1
جذر عدد سالب	√−a = i√a
العدد المركب	z = a + bi
الجمع والطرح	حقيقي مع حقيقي، تخيلي مع تخيلي
الضرب	توزيع عادي ثم استبدال i² بـ −1

٦ الخلاصة

— الوحدة التخيلية i: حلّت مشكلة الجذر التربيعي للأعداد السالبة بتعريف i = √−1.
— العدد المركب: يتكون من جزء حقيقي a وجزء تخيلي bi على شكل a + bi.
— الجمع والطرح: نعمل على الأجزاء المتشابهة فقط — لا نجمع حقيقياً مع تخيلي.
— الضرب: قواعد الجبر العادي مع استبدال i² بـ −1 دائماً.
— نتيجة مهمة: ضرب عدد مركب في مرافقه ينتج عدداً حقيقياً بحتاً.