ضرب الأعداد المركبة و قسمتها

اختبر فهمك

ما هو ناتج

(3 + 2i)(4 - i)

أسئلة متوقعة

ضرب وقسمة الأعداد المركبة — مسائل محلولة

الرياضيات — الأعداد المركبة

المسألة ١

ضرب عددين مركبين

المسألة ٢

قسمة عددين مركبين

١ احسب ناتج ضرب العددين المركبين

(2 + 4i) \times (9 - 3i)

الخطوة ١ — توزيع الضرب على جميع الحدود:

2 \times 9 + 2 \times (-3i) + 4i \times 9 + 4i \times (-3i)

الخطوة ٢ — حساب كل ضرب:

= 18 - 6i + 36i - 12i^2

الخطوة ٣ — استبدال

i^2 = -1

= 18 - 6i + 36i - 12(-1) = 18 - 6i + 36i + 12

الخطوة ٤ — تجميع الأجزاء المتشابهة:

الجزء الحقيقي

18 + 12 = 30

الجزء التخيلي

-6i + 36i = 30i

(2 + 4i) × (9 − 3i) = 30 + 30i

٢ احسب ناتج قسمة العددين المركبين

\frac{2i}{3 + 6i}

الخطوة ١ — إيجاد العدد المرافق للمقام وضربه:

— مرافق (3 + 6i) هو (3 − 6i) — نضرب البسط والمقام في المرافق.

\frac{2i}{3 + 6i} \times \frac{3 - 6i}{3 - 6i} = \frac{2i(3 - 6i)}{(3 + 6i)(3 - 6i)}

الخطوة ٢ — حساب البسط:

2i \times 3 = 6i

2i \times (-6i) = -12i^2 = +12

البسط

12 + 6i

الخطوة ٣ — حساب المقام بفرق المربعين:

(3 + 6i)(3 - 6i) = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45

الخطوة ٤ — كتابة النتيجة وتبسيطها:

\frac{12 + 6i}{45} = \frac{12}{45} + \frac{6}{45}i = \frac{4}{15} + \frac{2}{15}i

2i ÷ (3 + 6i) = 4/15 + 2/15 i

٣ ملخص

العملية	الخطوات
الضرب	توزيع ← استبدال i² بـ −1 ← تجميع
القسمة	مرافق المقام ← حساب البسط والمقام ← تبسيط
فرق المربعين	(a+bi)(a−bi) = a² + b²

٤ الخلاصة

— الضرب: وزّع كالجبر العادي ثم استبدل i² بـ −1 واجمع الأجزاء المتشابهة.
— القسمة: اضرب في مرافق المقام لتحويله إلى عدد حقيقي باستخدام فرق المربعين.
— الصيغة النهائية: دائماً اكتب النتيجة على شكل a + bi مع تبسيط الكسور.

الشرح

ضرب وقسمة الأعداد المركبة

الرياضيات — الأعداد المركبة

الضرب

توزيع ثم استبدال i² بـ −1

العدد المرافق

مرافق a+bi هو a−bi

القسمة

ضرب في مرافق المقام

١ ضرب الأعداد المركبة

(2 + 4i) \times (9 - 3i)

الخطوة ١ — توزيع الحد الأول:

2 \times 9 = 18 \qquad 2 \times (-3i) = -6i

الخطوة ٢ — توزيع الحد الثاني:

4i \times 9 = 36i \qquad 4i \times (-3i) = -12i^2

الخطوة ٣ — استبدال

i^2 = -1

-12i^2 = -12 \times (-1) = +12

الخطوة ٤ — تجميع الأجزاء المتشابهة:

حقيقي:

18 + 12 = 30

تخيلي:

-6i + 36i = 30i

(2 + 4i) × (9 − 3i) = 30 + 30i

٢ العدد المرافق للعدد المركب

التعريف مرافق a+bi هو a−bi — نغيّر إشارة الجزء التخيلي فقط

الخاصية ضرب العدد في مرافقه يعطي عدداً حقيقياً دائماً

(a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2 i^2 = a^2 + b^2

فرق المربعين — النتيجة دائماً عدد حقيقي موجب

—

(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2

هي أساس عملية قسمة الأعداد المركبة.

٣ قسمة الأعداد المركبة

\frac{2i}{3 + 6i}

الخطوة ١ — ضرب في مرافق المقام (3 − 6i):

\frac{2i}{3 + 6i} \times \frac{3 - 6i}{3 - 6i} = \frac{2i(3 - 6i)}{(3 + 6i)(3 - 6i)}

الخطوة ٢ — حساب البسط:

2i \times 3 = 6i \qquad 2i \times (-6i) = -12i^2 = +12

البسط = 12 + 6i

الخطوة ٣ — حساب المقام بفرق المربعين:

(3 + 6i)(3 - 6i) = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45

الخطوة ٤ — الصيغة القياسية a + bi:

\frac{12 + 6i}{45} = \frac{12}{45} + \frac{6}{45}i = \frac{4}{15} + \frac{2}{15}i

2i ÷ (3 + 6i) = 4/15 + 2/15 i

٤ ملخص العمليات

العملية	الخطوات
الضرب	توزيع ← استبدال i² بـ −1 ← تجميع
العدد المرافق	مرافق a+bi هو a−bi (نغيّر إشارة التخيلي)
فرق المربعين	(a+bi)(a−bi) = a² + b²
القسمة	ضرب في مرافق المقام ← تبسيط ← a+bi

٥ الخلاصة

— الضرب: قواعد الجبر العادي مع استبدال i² بـ −1 فوراً عند ظهوره.
— العدد المرافق: نغيّر إشارة الجزء التخيلي فقط — الحقيقي يبقى كما هو.
— فرق المربعين: (a+bi)(a−bi) = a² + b² دائماً يعطي عدداً حقيقياً.
— القسمة: نضرب في مرافق المقام لتحويل المقام إلى عدد حقيقي.
— الهدف دائماً: الوصول إلى الصيغة القياسية a + bi في النتيجة النهائية.