المعادلة التربيعية وطرق حلها: القانون العام-إكمال المربع-العامل المشترك

اختبر فهمك

ما هو تعريف المعادلة التربيعية؟

أسئلة متوقعة

المعادلات التربيعية — مسائل محلولة

الرياضيات — الجبر

المسألة ١

x² − 5x + 6 = 0

المسألة ٢

2x² + 3x − 2 = 0

١ حل المعادلة التربيعية الأولى

x^2 - 5x + 6 = 0

الخطوة ١ — المعاملات:

a = 1 \quad b = -5 \quad c = 6

الخطوة ٢ — تطبيق القانون العام:

x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)}

الخطوة ٣ — حساب المميز:

x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}

الخطوة ٤ — الحلان:

x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \qquad x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2

x = 3 أو x = 2

٢ حل المعادلة التربيعية الثانية

2x^2 + 3x - 2 = 0

الخطوة ١ — المعاملات:

a = 2 \quad b = 3 \quad c = -2

الخطوة ٢ — تطبيق القانون العام:

x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)}

الخطوة ٣ — حساب المميز:

x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}

الخطوة ٤ — الحلان:

x_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \qquad x_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2

x = 1/2 أو x = −2

٣ ملخص خطوات القانون العام

الخطوة	العملية
١ — المعاملات	حدّد a و b و c من المعادلة مع الإشارات
٢ — القانون	عوّض في x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
٣ — المميز	احسب b² − 4ac داخل الجذر أولاً
٤ — الحلان	x₁ بالإشارة + و x₂ بالإشارة −

٤ الخلاصة

— المعاملات: انتبه للإشارات — b = −5 وليس 5 في المسألة الأولى.
— المميز الموجب: يعطي حلين حقيقيين مختلفين كما في كلتا المسألتين.
— التبسيط: بسّط الكسور دائماً في النتيجة النهائية.
— التحقق: عوّض كل حل في المعادلة الأصلية للتأكد.

الشرح

المعادلات التربيعية

الرياضيات — الجبر

الطريقة الأولى

الجذر التربيعي

الطريقة الثانية

التحليل للعوامل

الطريقة الثالثة

القانون العام

١ تعريف المعادلة التربيعية

— المعادلة التربيعية هي التي يكون فيها أعلى أس على المتغير يساوي 2.

x^2 = 4

x^2 - 3x = 0

2x^2 + 4x - 2 = 0

الأس = 1 حل واحد

الأس = 2 حلان

الأس = 3 ثلاثة حلول

المعادلة التربيعية لها حلان دائماً

٢ الطريقة الأولى — أخذ الجذر التربيعي

— تُستخدم عندما تكون المعادلة من شكل

x^2 = k

— نأخذ الجذر للطرفين.

\sqrt{x^2} = \sqrt{4} \;\implies\; x = \pm 2

لأن (−2)² = 4 و (+2)² = 4 كلاهما يحقق المعادلة

x = 2 أو x = −2

٣ الطريقة الثانية — التحليل للعوامل

— تُستخدم عندما يوجد عامل مشترك واضح.

x^2 - 3x = 0

— الخطوة ١: إخراج العامل المشترك.

x(x - 3) = 0

— الخطوة ٢: قانون الضرب = صفر — أحد العاملين أو كلاهما يساوي صفر.

x = 0 \quad \text{أو} \quad x - 3 = 0 \;\implies\; x = 3

x = 0 أو x = 3

٤ الطريقة الثالثة — القانون العام

— تُستخدم للشكل العام — تصلح لجميع المعادلات التربيعية.

ax^2 + bx + c = 0

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

a معامل x²

b معامل x

c الحد الثابت

— مثال ١:

x^2 = 4

ترتّب إلى

x^2 - 4 = 0

← a=1, b=0, c=−4
— مثال ٢:

x^2 - 3x = 0

← a=1, b=−3, c=0
— مثال ٣:

2x^2 + 4x - 2 = 0

← a=2, b=4, c=−2

— رتّب المعادلة من الأس الأكبر إلى الأصغر أولاً.
— تأكد من الإشارات عند تحديد قيم a و b و c.

القانون العام يحل أي معادلة تربيعية

٥ ملخص الطرق

الطريقة	متى تُستخدم
الجذر التربيعي	عندما تكون المعادلة من شكل x² = k
التحليل للعوامل	عندما يوجد عامل مشترك واضح
القانون العام	يصلح لجميع المعادلات التربيعية

٦ الخلاصة

— المعادلة التربيعية: أعلى أس فيها يساوي 2، ولها حلان دائماً.
— الجذر التربيعي: للمعادلات من شكل x² = k — النتيجة x = ±√k.
— التحليل: أخرج العامل المشترك ثم طبّق قانون الضرب = صفر.
— القانون العام: رتّب المعادلة أولاً ثم حدّد a و b و c بعناية مع الإشارات.
— التحقق دائماً ضروري: عوّض الحلين في المعادلة الأصلية.