→ العودة إلى الدرس

أرسل للمعلم/الصف

📘 أكاديمية موسى · ورقة عمل

الرياضيات › الثانوية › ثاني ثانوي › الفصل الأول

المعادلة التربيعية وطرق حلها: القانون العام-إكمال المربع-العامل المشترك

امسح لمشاهدة الشرح

الاسم: الصف: التاريخ:

ملخص الدرس

في هذا الدرس سنتعرف على المعادلة التربيعية، وهي المعادلة التي يكون أعلى أس للمتغير فيها يساوي 2.

عدد حلول المعادلة

بما أن أعلى أس في المعادلة التربيعية يساوي 2، فإنها تمتلك حلين.

وبشكل عام:

إذا كان أعلى أس يساوي 1، فالمعادلة لها حل واحد.

إذا كان أعلى أس يساوي 2، فلها حلان.

إذا كان أعلى أس يساوي 3، فلها ثلاثة حلول، وهكذا.

معادلة تربيعية بسيطة

إذا كانت المعادلة:

$x^2=4$

فنأخذ الجذر التربيعي للطرفين مباشرة، فنحصل على:

$x=2$

أو

$x=-2$

لأن:

$2^2=4$

$(-2)^2=4$

وبذلك نحصل على الحلين.

التحليل باستخدام العامل المشترك

إذا كانت المعادلة:

$x^2-3x=0$

وبما أن الطرف الأيمن يساوي صفرًا، فيمكن تحليلها بسهولة بأخذ $x$ عاملًا مشتركًا:

$x(x-3)=0$

ولكي يكون حاصل الضرب صفرًا، فلا بد أن يكون أحد العاملين مساويًا للصفر.

إذن:

$x=0$

أو $x-3=0$ ، ومنها $x=3$

وبذلك نحصل أيضًا على حلين.

القانون العام للمعادلة التربيعية

مهما اختلف شكل المعادلة التربيعية، يمكن حلها باستخدام القانون العام.

ويكون:

$a$ هو معامل $x^2$ .

$b$ هو معامل $x$ .

$c$ هو الحد الثابت.

ترتيب المعادلة قبل التعويض

قبل استخدام القانون العام، يجب كتابة المعادلة بالشكل القياسي:

$ax^2+bx+c=0$

أي نرتب الحدود من أعلى أس إلى أصغر أس، ويكون الطرف الآخر مساويًا للصفر.

مثال

إذا كانت المعادلة:

$x^2=4$

فننقل العدد 4 إلى الطرف الآخر:

$x^2-4=0$

فتصبح معاملات القانون:

$a=1$

$b=0$ لأنه لا يوجد حد يحتوي على $x$ .

$c=-4$

ثم نعوض في القانون العام لنحصل على نفس الحلين:

$x=2 \quad \text{أو} \quad x=-2$

مثال آخر

إذا كانت المعادلة:

$2x^2+4x-2=0$

فإن معاملات القانون تكون:

$a=2$

$b=4$

$c=-2$

وبعد تحديد قيم $a$ ، و $b$ ، و $c$ ، تصبح المعادلة جاهزة للتعويض في القانون العام واستخراج الحلين.

الخلاصة

المعادلة التربيعية هي التي يكون أعلى أس فيها للمتغير مساويًا لـ 2.

تمتلك دائمًا حلين، قد يكونان متساويين أو مختلفين.

إذا كان الطرف الآخر يساوي صفرًا، فقد يمكن تحليلها بالعامل المشترك.

يمكن حل أي معادلة تربيعية باستخدام القانون العام بعد ترتيبها على الصورة:

$ax^2+bx+c=0$

ثم تحديد قيم $a$ ، و $b$ ، و $c$ والتعويض بها في القانون العام.

تمارين

1ما هو تعريف المعادلة التربيعية؟

أ) معادلة يكون فيها الأس على المتغير يساوي 2

ب) معادلة يكون فيها الأس على المتغير يساوي 3

ج) معادلة خطية بسيطة

د) معادلة لا تحتوي على متغيرات

2كم حلاً للمعادلة التربيعية؟

أ) حل واحد

ب) حلان

ج) ثلاثة حلول

د) لا يوجد حل

3ما هو حل المعادلة $x^2 = 16$ ؟

أ) $x = 4$ فقط

ب) $x = -4$ فقط

ج) $x = 4$ أو $x = -4$

د) $x = 8$

4في المعادلة $3x^2 + 5x - 2 = 0$ ، ما هي قيم المعاملات؟

أ) $a = 3$ ، $b = 5$ ، $c = 2$

ب) $a = 3$ ، $b = 5$ ، $c = -2$

ج) $a = 5$ ، $b = 3$ ، $c = -2$

د) $a = -2$ ، $b = 5$ ، $c = 3$

5ما هو القانون العام للمعادلة التربيعية؟

أ) $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ب) $x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a}$

ج) $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{a}$

د) $x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4bc}}{2b}$

6لحل المعادلة $x^2 - 3x = 0$ بالتحليل، ما هي الخطوة الأولى؟

أ) تطبيق القانون العام

ب) إخراج $x$ عامل مشترك

ج) جمع 3 للطرفين

د) قسمة المعادلة على $x$

7ما هو حل المعادلة $x^2 - 3x = 0$ ؟

أ) $x = 0$ أو $x = 3$

ب) $x = 3$ فقط

ج) $x = 0$ فقط

د) $x = -3$ أو $x = 0$

8في المعادلة $x^2 + 4x + 4 = 0$ ، ما هو المميز ( $b^2 - 4ac$ )؟

أ) $0$

ب) $16$

ج) $32$

د) $-16$

9متى نستخدم القانون العام في حل المعادلات التربيعية؟

أ) فقط عندما لا يمكن التحليل

ب) فقط مع المعادلات البسيطة

ج) مع جميع المعادلات التربيعية

د) فقط عندما يكون المميز موجب

10ما هي الخطوة المهمة قبل تطبيق القانون العام؟

أ) حساب المميز

ب) ترتيب المعادلة من الأس الأكبر للأصغر

ج) التأكد من أن المعادلة تربيعية

د) كل ما سبق

أكاديمية موسى — moosa.tvmoosa.tv/share/fyx15g

📘 أكاديمية موسى · مفتاح الإجابات (للمعلم)

المعادلة التربيعية وطرق حلها: القانون العام-إكمال المربع-العامل المشترك

الإجابات

1. معادلة يكون فيها الأس على المتغير يساوي 2

2. حلان

3. $x = 4$ أو $x = -4$

4. $a = 3$ ، $b = 5$ ، $c = -2$

5. $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

6. إخراج $x$ عامل مشترك

7. $x = 0$ أو $x = 3$

8. $0$

9. مع جميع المعادلات التربيعية

10. كل ما سبق

أكاديمية موسى — moosa.tvmoosa.tv/share/fyx15g