النظير الضربي للمصفوفات

امسح لمشاهدة الشرح

الاسم: الصف: التاريخ:

ملخص الدرس

في هذا الدرس سنتعلم كيفية إيجاد النظير الضربي لمصفوفة $2 \times 2$ ، ولإيجاده نحتاج إلى ثلاث خطوات بسيطة.

الخطوة الأولى: حساب المحددة

نبدأ بحساب محددة المصفوفة، وذلك بضرب عناصر القطر الرئيسي ثم طرح حاصل ضرب عناصر القطر الآخر.

وهذه هي المحددة التي سنستخدمها في الخطوة الأخيرة.

الخطوة الثانية: تعديل عناصر المصفوفة

نعود إلى المصفوفة الأصلية ونطبق القاعدتين التاليتين:

نبدّل عنصري القطر الرئيسي مكان بعضهما، دون تغيير إشاراتهما.

نغيّر إشارات عنصري القطر الآخر فقط، دون تبديل موقعيهما.

الخطوة الثالثة: القسمة على المحددة

بعد تنفيذ الخطوتين السابقتين، نقسم جميع عناصر المصفوفة الناتجة على قيمة المحددة التي حسبناها في البداية.

وبذلك نحصل على النظير الضربي للمصفوفة.

رمز النظير الضربي

إذا كان رمز المصفوفة هو $A$ ، فإن النظير الضربي يرمز له بالشكل:

$A^{-1}$

ويجب الانتباه إلى أن الأس $-1$ هنا لا يعني أسًا عدديًا، وإنما هو رمز يدل على النظير الضربي للمصفوفة.

فائدة النظير الضربي

إذا ضربنا المصفوفة الأصلية في نظيرها الضربي، فإن الناتج يكون مصفوفة الوحدة.

أي:

$A \times A^{-1} = I$

حيث إن مصفوفة الوحدة تحتوي على العدد 1 في عناصر القطر الرئيسي، و0 في باقي العناصر.

الخلاصة

لإيجاد النظير الضربي لمصفوفة $2 \times 2$ :

نحسب المحددة.

نبدّل عنصري القطر الرئيسي.

نغيّر إشارات عنصري القطر الآخر.

نقسم عناصر المصفوفة الناتجة على قيمة المحددة.

وعند ضرب المصفوفة في نظيرها الضربي يكون الناتج مصفوفة الوحدة، والتي تمثل العنصر المحايد في ضرب المصفوفات، تمامًا كما يمثل العدد 1 العنصر المحايد في ضرب الأعداد.

تمارين

1ما هو النظير الضربي للمصفوفة؟

أ) مصفوفة عند ضربها في الأصلية تعطي مصفوفة الصفر

ب) مصفوفة عند ضربها في الأصلية تعطي مصفوفة الوحدة

ج) مصفوفة معكوسة الإشارات

د) مصفوفة منقولة

2ما هي الخطوة الأولى لإيجاد النظير الضربي؟

أ) تبديل عناصر القطر الرئيسي

ب) حساب محددة المصفوفة

ج) تغيير إشارات القطر الآخر

د) القسمة على 2

3للمصفوفة $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ ، ما هي صيغة المحددة؟