النظير الضربي للمصفوفات

اختبر فهمك

اختبار: النظير الضربي للمصفوفات 2×2

1

ما هو النظير الضربي للمصفوفة؟

أسئلة متوقعة

النظير الضربي للمصفوفات - المسائل المحلولة

1

أوجد النظير الضربي للمصفوفة:

D = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}

2

أوجد النظير الضربي للمصفوفة:

T = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{bmatrix}

ملخص الخطوات

1️⃣ حساب المحددة:

\det(A) = ad - bc

2️⃣ تبديل وتغيير: تبديل القطر الرئيسي + تغيير إشارات القطر الآخر

3️⃣ القسمة: قسمة المصفوفة الناتجة على المحددة

✅ التحقق:

A \times A^{-1} = I

الشرح

النظير الضربي للمصفوفات 2×2 - النقاط الأساسية

1️⃣ حساب محددة المصفوفة (الخطوة الأولى)

2️⃣ تبديل وتغيير إشارات العناصر (الخطوة الثانية)

3️⃣ القسمة على المحددة (الخطوة الثالثة)

4️⃣ رمز النظير الضربي A⁻¹

5️⃣ التحقق من الخاصية: A × A⁻¹ = I

ملخص النقاط الأساسية

1️⃣ الخطوة الأولى: حساب المحددة (ad - bc)

2️⃣ الخطوة الثانية: تبديل القطر الرئيسي وتغيير إشارات القطر الآخر

3️⃣ الخطوة الثالثة: قسمة المصفوفة الناتجة على المحددة

4️⃣ الرمز A⁻¹ ليس أساً بل رمز خاص للنظير الضربي

5️⃣ التحقق: A × A⁻¹ = I (مصفوفة الوحدة)

1️⃣ مفهوم النظير الضربي

النظير الضربي للمصفوفة هو المصفوفة التي عند ضربها في المصفوفة الأصلية تعطي مصفوفة الوحدة. إنه مشابه للنظير الضربي في الأعداد حيث أن a × (1/a) = 1.

A \times A^{-1} = I

خاصية النظير الضربي الأساسية

🔤 رمز النظير الضربي:

A^{-1}

⚠️ تنبيه مهم:

الرمز -1 في A⁻¹ ليس أساً حقيقياً، بل هو رمز خاص يدل على النظير الضربي فقط.

2️⃣ الخطوات الثلاث لإيجاد النظير الضربي

لإيجاد النظير الضربي لمصفوفة 2×2، نتبع ثلاث خطوات محددة وواضحة:

الخطوات الثلاث للنظير الضربي

الخطوة 1: حساب محددة المصفوفة (det A)

الخطوة 2: تبديل القطر الرئيسي وتغيير إشارات القطر الآخر

تكوين المصفوفة المساعدة

الخطوة 3: قسمة المصفوفة المساعدة على المحددة

3️⃣ مثال شامل: تطبيق الخطوات الثلاث

لنطبق الخطوات الثلاث على مصفوفة محددة:

مثال: إيجاد النظير الضربي

المصفوفة المعطاة

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

\text{مثال محدد: } A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}

1 حساب المحددة

قاعدة حساب المحددة 2×2:

\det(A) = ad - bc

مضروب القطر الرئيسي - مضروب القطر الآخر

التطبيق على مثالنا:

\det(A) = (3)(4) - (2)(1) = 12 - 2 = 10

المحددة = 10

2 تبديل وتغيير العناصر

المصفوفة الأصلية

\begin{bmatrix} \color{blue}{3} & \color{red}{2} \\ \color{red}{1} & \color{blue}{4} \end{bmatrix}

القطر الرئيسي

القطر الآخر

→

بعد التبديل والتغيير

\begin{bmatrix} \color{blue}{4} & \color{red}{-2} \\ \color{red}{-1} & \color{blue}{3} \end{bmatrix}

تبديل الأماكن

تغيير الإشارات

قواعد التبديل والتغيير:

🔄 القطر الرئيسي: نبدل المواضع فقط (3 ↔ 4)

➖ القطر الآخر: نغير الإشارات فقط (2 → -2، 1 → -1)

3 القسمة على المحددة

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}

توزيع القسمة على كل عنصر:

A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{4}{10} & \frac{-2}{10} \\ \frac{-1}{10} & \frac{3}{10} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.4 & -0.2 \\ -0.1 & 0.3 \end{bmatrix}

النظير الضربي النهائي

A^{-1} = \begin{bmatrix} 0.4 & -0.2 \\ -0.1 & 0.3 \end{bmatrix}

4️⃣ التحقق من النظير الضربي

فائدة النظير الضربي هي أن ضربه في المصفوفة الأصلية يعطي مصفوفة الوحدة. لنتحقق من ذلك:

التحقق: A × A⁻¹ = I

ضرب المصفوفة في نظيرها الضربي

A \times A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0.4 & -0.2 \\ -0.1 & 0.3 \end{bmatrix}

حساب كل عنصر

العنصر (1,1):

3 \times 0.4 + 2 \times (-0.1)

= 1.2 - 0.2 = 1

العنصر (1,2):

3 \times (-0.2) + 2 \times 0.3

= -0.6 + 0.6 = 0

العنصر (2,1):

1 \times 0.4 + 4 \times (-0.1)

= 0.4 - 0.4 = 0

العنصر (2,2):

1 \times (-0.2) + 4 \times 0.3

= -0.2 + 1.2 = 1

النتيجة النهائية

A \times A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I

تم التحقق من صحة النظير الضربي! ✅

5️⃣ الصيغة العامة للنظير الضربي

يمكن كتابة الصيغة العامة للنظير الضربي لمصفوفة 2×2:

📐 الصيغة العامة

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

حيث:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

والمحددة

\det(A) = ad - bc \neq 0

⚠️ شرط مهم:

النظير الضربي موجود فقط إذا كانت المحددة ≠ 0. إذا كانت المحددة = 0، فالمصفوفة ليس لها نظير ضربي.

الخلاصة: النظير الضربي للمصفوفة يلعب نفس دور النظير الضربي في الأعداد، حيث أن ضرب العدد في نظيره الضربي يعطي 1، وضرب المصفوفة في نظيرها الضربي يعطي مصفوفة الوحدة I.

حل بالخطوات

1

إيجاد النظير الضربي لمصفوفة 2×2

2

مثال بمحددة سالبة

3

مثال على مصفوفة ليس لها نظير ضربي

4

مثال بأعداد عشرية

5

التحقق من النظير الضربي

6

مثال عملي: حل نظام بالنظير الضربي

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا

👨‍💻

ثاني ثانوي الفصل الأول

جاري تحميل التعليقات...