في هذا الدرس سنتعرف على المميز في القانون العام لحل المعادلات التربيعية، وهو الجزء الموجود تحت الجذر التربيعي.

ما هو المميز؟

المميز هو الجزء الموجود تحت الجذر في القانون العام، ويحدد نوع حلول المعادلة التربيعية قبل أن نحسب الجذور.

وبحسب قيمة المميز، تنقسم الحلول إلى ثلاث حالات.

الحالة الأولى: المميز يساوي صفر

إذا كانت قيمة المميز تساوي صفر، فإن الحد الموجود تحت الجذر يختفي بالكامل، ويبقى:

وفي هذه الحالة نحصل على حل واحد فقط.

ولأن المعادلة التربيعية يجب أن يكون لها جذران، فإننا نسمي هذا الحل:

• جذرًا مكررًا.

• أو حلًا واحدًا مكررًا.

التمثيل البياني

يمس منحنى الدالة محور عند نقطة واحدة فقط، بحيث يكون رأس القطع المكافئ على محور السينات.

الحالة الثانية: المميز أقل من صفر

إذا كان المميز سالبًا، فإن الجذر التربيعي سيكون لجذر عدد سالب، وبالتالي تظهر الأعداد التخيلية.

في هذه الحالة تكون الحلول:

• عددين مركبين مترافقين.

مثل:

و

ويختلف الحلان فقط في إشارة الجزء التخيلي.

التمثيل البياني

لا يقطع منحنى الدالة محور إطلاقًا، سواء كان مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل، لأن الجذور ليست أعدادًا حقيقية.

الحالة الثالثة: المميز أكبر من صفر

إذا كان المميز موجبًا، فإن للمعادلة حلين حقيقيين مختلفين.

وتنقسم هذه الحالة إلى نوعين:

إذا كان المميز مربعًا كاملًا

مثل:

• 9

• 25

• 36

فإن الجذر التربيعي يكون عددًا صحيحًا، وتكون الحلول أعدادًا نسبية.

إذا لم يكن المميز مربعًا كاملًا

مثل:

• 2

• 6

فإن الجذر يبقى على صورته، وتكون الحلول أعدادًا حقيقية غير نسبية، مثل:

وهي أعداد لا يمكن كتابتها على صورة كسر، وتمتلك عددًا لا نهائيًا غير دوري من المنازل العشرية.

التمثيل البياني

يقطع منحنى الدالة محور في نقطتين مختلفتين، سواء كان مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

الخلاصة

يعتمد نوع حلول المعادلة التربيعية على قيمة المميز:

• إذا كان المميز = 0 ⇒ حل حقيقي واحد مكرر، والمنحنى يمس محور .

• إذا كان المميز < 0 ⇒ حلان مركبان مترافقان، والمنحنى لا يقطع محور .

• إذا كان المميز > 0 ⇒ حلان حقيقيان مختلفان، وقد يكونان نسبيين إذا كان المميز مربعًا كاملًا، أو غير نسبيين إذا لم يكن مربعًا كاملًا.