دلالة المميز في المعادلات التربيعية و أنواع الحلول

في هذا الدرس سنتعرف على **المميز** في القانون العام لحل المعادلات التربيعية، وهو الجزء الموجود تحت الجذر التربيعي.

ما هو المميز؟

المميز هو الجزء الموجود تحت الجذر في القانون العام، ويحدد **نوع حلول المعادلة التربيعية** قبل أن نحسب الجذور.

وبحسب قيمة المميز، تنقسم الحلول إلى ثلاث حالات.

الحالة الأولى: المميز يساوي صفر

إذا كانت قيمة المميز تساوي صفر، فإن الحد الموجود تحت الجذر يختفي بالكامل، ويبقى:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="\frac{-b}{2a}" data-tex="\frac{-b}{2a}" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -1.575ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.726ex" height="4.674ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1370 1647 2066" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,676)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(778,0)"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44F"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(309,-686)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44E"></use></g></g><rect width="1407" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></div>

وفي هذه الحالة نحصل على **حل واحد فقط**.

ولأن المعادلة التربيعية يجب أن يكون لها جذران، فإننا نسمي هذا الحل:

- جذرًا مكررًا. - أو حلًا واحدًا مكررًا.

### التمثيل البياني

يمس منحنى الدالة محور <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span> عند نقطة واحدة فقط، بحيث يكون رأس القطع المكافئ على محور السينات.

الحالة الثانية: المميز أقل من صفر

إذا كان المميز سالبًا، فإن الجذر التربيعي سيكون لجذر عدد سالب، وبالتالي تظهر **الأعداد التخيلية**.

في هذه الحالة تكون الحلول:

- عددين مركبين مترافقين.

مثل:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="2+3i" data-tex="2+3i" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.809ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2567.4 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2222.4,0)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></svg></div>

و

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="2-3i" data-tex="2-3i" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.809ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2567.4 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2222.4,0)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></svg></div>

ويختلف الحلان فقط في إشارة الجزء التخيلي.

### التمثيل البياني

لا يقطع منحنى الدالة محور <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span> إطلاقًا، سواء كان مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل، لأن الجذور ليست أعدادًا حقيقية.

الحالة الثالثة: المميز أكبر من صفر

إذا كان المميز موجبًا، فإن للمعادلة **حلين حقيقيين مختلفين**.

وتنقسم هذه الحالة إلى نوعين:

### إذا كان المميز مربعًا كاملًا

مثل:

- 9 - 25 - 36

فإن الجذر التربيعي يكون عددًا صحيحًا، وتكون الحلول **أعدادًا نسبية**.

### إذا لم يكن المميز مربعًا كاملًا

مثل:

- 2 - 6

فإن الجذر يبقى على صورته، وتكون الحلول **أعدادًا حقيقية غير نسبية**، مثل:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="\sqrt{2}" data-tex="\sqrt{2}" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.117ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.061ex" height="2.398ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1008.3 1353 1060" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msqrt"><g transform="translate(853,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,148.3)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJXG-TEX-N-221A"></use></g><rect width="500" height="60" x="853" y="888.3"></rect></g></g></g></svg></div>

وهي أعداد لا يمكن كتابتها على صورة كسر، وتمتلك عددًا لا نهائيًا غير دوري من المنازل العشرية.

### التمثيل البياني

يقطع منحنى الدالة محور <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span> في **نقطتين مختلفتين**، سواء كان مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

الخلاصة

يعتمد نوع حلول المعادلة التربيعية على قيمة المميز:

- إذا كان **المميز = 0** ⇒ حل حقيقي واحد مكرر، والمنحنى يمس محور <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>. - إذا كان **المميز < 0** ⇒ حلان مركبان مترافقان، والمنحنى لا يقطع محور <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>. - إذا كان **المميز > 0** ⇒ حلان حقيقيان مختلفان، وقد يكونان نسبيين إذا كان المميز مربعًا كاملًا، أو غير نسبيين إذا لم يكن مربعًا كاملًا.