دلالة المميز في المعادلات التربيعية و أنواع الحلول

اختبر فهمك

اختبار: المميز في المعادلات التربيعية

1
ما هو المميز في القانون العام للمعادلة التربيعية؟

أسئلة متوقعة

1

أوجد عدد الجذور، وحدد نوعها:

2x^2 + 3x - 3 = 0

طريقة الحل

✅تحديد قيم المعاملات

a = 2، b = 3، c = -3

✅حساب المميز

\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-3)
\Delta = 9 + 24 = 33

✅تحليل المميز

\Delta = 33 > 0 والرقم 33 ليس مربع كامل
\sqrt{33} لا يمكن تبسيطه

✅تحديد نوع الجذور

عدد الجذور: جذران
نوع الجذور: حقيقيان غير نسبيين
الإجابة النهائية: جذران حقيقيان غير نسبيين
2

أوجد عدد الجذور، وحدد نوعها:

-5x^2 + 4x + 1 = 0

طريقة الحل

✅تحديد قيم المعاملات

a = -5، b = 4، c = 1

✅حساب المميز

\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(-5)(1)
\Delta = 16 + 20 = 36

✅تحليل المميز

\Delta = 36 > 0 والرقم 36 مربع كامل
\sqrt{36} = 6

✅تحديد نوع الجذور

عدد الجذور: جذران
نوع الجذور: حقيقيان نسبيان
الإجابة النهائية: جذران حقيقيان نسبيان
3

أوجد عدد الجذور، وحدد نوعها:

-6x^2 + 5 = -4x + 8

طريقة الحل

✅ترتيب المعادلة

-6x^2 + 5 + 4x - 8 = 0
-6x^2 + 4x - 3 = 0

✅تحديد قيم المعاملات

a = -6، b = 4، c = -3

✅حساب المميز

\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(-6)(-3)
\Delta = 16 - 72 = -56

✅تحليل المميز

\Delta = -56 < 0 (المميز سالب)

✅تحديد نوع الجذور

عدد الجذور: جذران
نوع الجذور: مركبان مترافقان
الإجابة النهائية: جذران مركبان مترافقان
4

أوجد عدد الجذور، وحدد نوعها:

4x - 3 = -12x^2

طريقة الحل

✅ترتيب المعادلة

4x - 3 + 12x^2 = 0
12x^2 + 4x - 3 = 0

✅تحديد قيم المعاملات

a = 12، b = 4، c = -3

✅حساب المميز

\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(12)(-3)
\Delta = 16 + 144 = 160

✅تحليل المميز

\Delta = 160 > 0 والرقم 160 ليس مربع كامل
\sqrt{160} = 4\sqrt{10}

✅تحديد نوع الجذور

عدد الجذور: جذران
نوع الجذور: حقيقيان غير نسبيان
الإجابة النهائية: جذران حقيقيان غير نسبيان

الشرح

المميز في المعادلات التربيعية

الموضوع: تحديد نوع حلول المعادلة التربيعية باستخدام المميز

المفاهيم: المميز، الحلول الحقيقية، الحلول المركبة، الجذور النسبية وغير النسبية

الهدف: فهم كيفية تحديد نوع الحل قبل إيجاده بحساب المميز

1 تعريف المميز

في القانون العام: x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
1
المميز (Discriminant)
\Delta = b^2 - 4ac
2
أهمية المميز
الجزء الذي تحت الجذر يحدد نوع الحل
مجرد حساب المميز يعطينا نوع الحل قبل إيجاده
المميز يخبرنا عن طبيعة حلول المعادلة التربيعية

2 الحالة الأولى: المميز = صفر

عندما: \Delta = b^2 - 4ac = 0
1
تبسيط القانون
x = \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} = \frac{-b \pm 0}{2a} = \frac{-b}{2a}
2
نوع الحل
حل واحد مكرر (جذر مكرر)
المعادلة التربيعية لها حلان، لكنهما متساويان
3
الشكل البياني
رأس المنحنى على محور الإكس
نقطة التقاء واحدة مع محور الإكس (نقطة مماس)
مثال: x^2 + 4x + 4 = 0 ← المميز = 0 ← الحل: x = -2 (مكرر)

3 الحالة الثانية: المميز أقل من صفر

عندما: \Delta = b^2 - 4ac < 0 (سالب)
1
ما يحدث في القانون
x = \frac{-b \pm \sqrt{\text{عدد سالب}}}{2a}
الجذر التربيعي لعدد سالب يعطي جزء تخيلي
2
نوع الحل
عددان مركبان مترافقان
جزء حقيقي + جزء تخيلي
يختلفان في علامة الجزء التخيلي
3
الشكل البياني
لا يوجد تقاطع مع محور الإكس
المنحنى كله فوق أو تحت محور الإكس
التقاطع يحدث في بُعد تخيلي لا نراه
مثال: x^2 + 2x + 5 = 0 ← المميز = -16 ← الحل: -1 \pm 2i

4 الحالة الثالثة: المميز أكبر من صفر

عندما: \Delta = b^2 - 4ac > 0 (موجب)
1
حالتان فرعيتان
أ) المميز مربع كامل
ب) المميز ليس مربع كامل
المميز مربع كامل
مثل: \Delta = 9, 25, 16
الحل: جذران نسبيان
أعداد صحيحة أو كسرية
مثال: x = 2, x = -3
المميز ليس مربع كامل
مثل: \Delta = 2, 6, 8
الحل: جذران حقيقيان غير نسبيين
أعداد لا نهائية الخانات
مثال: x = 1 + \sqrt{2}
2
الشكل البياني
نقطتا تقاطع واضحتان مع محور الإكس
سواء كان المنحنى مفتوح للأعلى أو الأسفل
مثال: x^2 - 5x + 6 = 0 ← المميز = 1 ← الحل: x = 2, x = 3

5 ملخص حالات المميز

قيمة المميز
نوع الحل
الشكل البياني
\Delta = 0
حل واحد مكرر (نسبي)
يمس محور الإكس في نقطة واحدة
\Delta < 0
حلان مركبان مترافقان
لا يقطع محور الإكس
\Delta > 0 مربع كامل
حلان حقيقيان نسبيان
يقطع محور الإكس في نقطتين
\Delta > 0 ليس مربع كامل
حلان حقيقيان غير نسبيان
يقطع محور الإكس في نقطتين

نصائح مهمة:

• احسب المميز أولاً لمعرفة نوع الحل
• تذكر أن المميز = b^2 - 4ac
• انتبه لإشارة المميز
• الحلول المركبة لا تظهر على الرسم البياني
• الأعداد غير النسبية لها خانات لا نهائية
• المميز يوفر معلومات قبل الحل الكامل

حل بالخطوات

1
حدد نوع الحل للمعادلة x^2 + 4x + 4 = 0
2
حدد نوع الحل للمعادلة x^2 + 2x + 5 = 0
3
حدد نوع الحل للمعادلة x^2 - 5x + 6 = 0
4
حدد نوع الحل للمعادلة x^2 - 4x + 2 = 0
5
حدد نوع الحل للمعادلة 2x^2 + 4x + 3 = 0
6
حدد نوع الحل للمعادلة x^2 - 6x + 9 = 0
7
حدد نوع الحل للمعادلة 3x^2 - 2x - 1 = 0
8
قارن بين أنواع الحلول للمعادلات الثلاث: x^2 + 1 = 0، x^2 - 1 = 0، x^2 = 0

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
1,479
الدرس التالي
ثاني ثانوي الفصل الأول
جاري تحميل التعليقات...