الساين والكوساين الدورة والسعة
الأهداف
- فهم تمثيل دالة الجيب (sin) وخصائصها
- فهم تمثيل دالة جيب التمام (cos) وخصائصها
- ربط الدوال المثلثية بدائرة الوحدة
- حساب السعة (الامبليتود) للدوال المثلثية
- فهم الدورة الكاملة والفترة الزمنية للدوال
الدوال المثلثية هي من أهم الدوال في الرياضيات، وتظهر في كل مكان من الفيزياء إلى الهندسة إلى معالجة الإشارات. دالة الجيب (sin) ودالة جيب التمام (cos) لهما أنماط دورية جميلة ومنتظمة. دعونا نستكشف هذه الأنماط ونفهم لماذا تبدأ كل دالة من نقطة معينة وكيف ترتبط بدائرة الوحدة.
📈 دالة الجيب (sin θ)
تبدأ من: 0 عند θ = 0°
القيمة العظمى: 1 عند θ = 90°
تعود للصفر: عند θ = 180°
القيمة الصغرى: -1 عند θ = 270°
الدورة الكاملة: 360° أو 2π
📊 دالة جيب التمام (cos θ)
تبدأ من: 1 عند θ = 0°
تصل للصفر: عند θ = 90°
القيمة الصغرى: -1 عند θ = 180°
تعود للصفر: عند θ = 270°
الدورة الكاملة: 360° أو 2π
تمثيل الدوال بصرياً
🌊 رسم دوال الجيب وجيب التمام
شاهد كيف تتشكل الدوال نقطة بنقطة
اختر دالة لعرضها أو شاهد كيف تتشكل بالتحريك
لاحظ كيف أن كلا الدالتين لهما نفس الشكل لكن مع إزاحة أفقية 90 درجة
الربط مع دائرة الوحدة
⭕ لماذا تبدأ كل دالة من نقطة معينة؟
🔗 الربط بدائرة الوحدة:
sin θ = الإحداثي الصادي (y) للنقطة على دائرة الوحدة
cos θ = الإحداثي السيني (x) للنقطة على دائرة الوحدة
🎯 دائرة الوحدة التفاعلية
دائرة الوحدة
إسقاط القيم
حرك النقطة على دائرة الوحدة لترى كيف تتغير قيم sin و cos
التفسير:
🔸 عند θ = 0°: النقطة عند (1, 0) ← cos(0°) = 1, sin(0°) = 0
🔸 عند θ = 90°: النقطة عند (0, 1) ← cos(90°) = 0, sin(90°) = 1
🔸 عند θ = 180°: النقطة عند (-1, 0) ← cos(180°) = -1, sin(180°) = 0
🔸 عند θ = 270°: النقطة عند (0, -1) ← cos(270°) = 0, sin(270°) = -1
السعة (الامبليتود)
📏 حساب السعة للدوال المثلثية
السعة (الامبليتود) = \(\frac{\text{القيمة العظمى} - \text{القيمة الصغرى}}{2}\)
📊 حساب السعة تفاعلياً
اضغط على "إظهار حساب السعة" لترى كيف نحسبها
مثال: حساب السعة للدوال الأساسية
للدالتين sin θ و cos θ:
1️⃣ القيمة العظمى: 1
2️⃣ القيمة الصغرى: -1
3️⃣ الفرق: 1 - (-1) = 2
4️⃣ السعة: 2 ÷ 2 = 1
نحسب السعة بهذه الطريقة لأن الدوال قد تتحرك لأعلى أو لأسفل بالتحويلات الهندسية
مقارنة شاملة بين الدالتين
🔄 مقارنة مباشرة
شاهد العلاقة بين دالتي الجيب وجيب التمام
🎓 الخلاصة النهائية:
• sin θ: تبدأ من 0 (الإحداثي الصادي y في دائرة الوحدة)
• cos θ: تبدأ من 1 (الإحداثي السيني x في دائرة الوحدة)
• الدورة: كلاهما لهما دورة كاملة = 360° = 2π راديان
• السعة: كلاهما لهما سعة = 1 (تتراوح من -1 إلى 1)
• العلاقة: cos θ = sin(θ + 90°) أو sin θ = cos(θ - 90°)
• sin θ: تبدأ من 0 (الإحداثي الصادي y في دائرة الوحدة)
• cos θ: تبدأ من 1 (الإحداثي السيني x في دائرة الوحدة)
• الدورة: كلاهما لهما دورة كاملة = 360° = 2π راديان
• السعة: كلاهما لهما سعة = 1 (تتراوح من -1 إلى 1)
• العلاقة: cos θ = sin(θ + 90°) أو sin θ = cos(θ - 90°)
انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات
👨💻
جاري تحميل التعليقات...