الفرق بين دوال المقلوب والمعكوس للدوال المثلثية

فهم واضح للاختلاف بين المفهومين وتطبيقاتهما

---

✅ المقدمة: لماذا الخلط شائع؟

كثير من الطلاب يخلطون بين:

- دوال المقلوب (Reciprocal Functions)

- دوال المعكوس (Inverse Functions)

- الرمز المشترك: استخدام "-1" في كلا الحالتين

- المعنى المختلف: "-1" أحياناً تعني مقلوب، وأحياناً تعني معكوس

- عدم وضوح السياق في بعض المراجع

---

✅ دوال المقلوب (Reciprocal Functions)

دالة المقلوب = $\frac{1}{\text{الدالة الأصلية}}$

#### 1. القاطع (Secant):

$$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$$

#### 2. قاطع التمام (Cosecant):

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$$

#### 3. ظل التمام (Cotangent):

$$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

- المدخل: زاوية θ

- المخرج: نسبة عددية

- المعنى: "كم يساوي مقلوب sin θ؟"

---

✅ التفسير الهندسي لدوال المقلوب

```

|\

وتر | \

| \

مقابل | \ وتر

| \

|θ___\

مجاور

```

#### الدوال الأساسية:

- $\sin \theta = \frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}}$

- $\cos \theta = \frac{\text{مجاور}}{\text{وتر}}$

#### دوال المقلوب:

- $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{وتر}}{\text{مقابل}}$

- $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{وتر}}{\text{مجاور}}$

- $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{مجاور}}{\text{مقابل}}$

---

✅ أمثلة على دوال المقلوب

إذا كان $\sin 30° = \frac{1}{2}$، أوجد $\csc 30°$

#### الحل:

$$\csc 30° = \frac{1}{\sin 30°} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$$

إذا كان $\cos 60° = \frac{1}{2}$، أوجد $\sec 60°$

#### الحل:

$$\sec 60° = \frac{1}{\cos 60°} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$$

إذا كان $\tan 45° = 1$، أوجد $\cot 45°$

#### الحل:

$$\cot 45° = \frac{1}{\tan 45°} = \frac{1}{1} = 1$$

---

✅ دوال المعكوس (Inverse Functions)

دالة المعكوس تجيب على السؤال: "ما هي الزاوية التي تعطي هذه القيمة؟"

#### الرمز الأول (مُحير):

$$\sin^{-1} x, \cos^{-1} x, \tan^{-1} x$$ تحذير: الـ "-1" هنا ليست أساً!

#### الرمز الواضح (الأفضل):

$$\arcsin x, \arccos x, \arctan x$$

- المدخل: نسبة عددية

- المخرج: زاوية

- المعنى: "ما هي الزاوية التي sin لها = x؟"

---

✅ مقارنة شاملة بين المفهومين

| الخاصية | دوال المقلوب | دوال المعكوس |

|-------------|------------------|------------------|

| التعريف | $\frac{1}{\text{الدالة}}$ | الدالة التي تعكس العملية |

| المدخل | زاوية | نسبة عددية |

| المخرج | نسبة عددية | زاوية |

| المثال | $\csc 30° = 2$ | $\arcsin(0.5) = 30°$ |

| السؤال | كم مقلوب sin للزاوية؟ | ما الزاوية التي sin لها = 0.5؟ |

| الرمز | $\csc, \sec, \cot$ | $\arcsin, \arccos, \arctan$ |

---

✅ أمثلة مفصلة على دوال المعكوس

أوجد $\arcsin(\frac{1}{2})$

#### الحل:

نبحث عن الزاوية التي $\sin \theta = \frac{1}{2}$

نعلم أن $\sin 30° = \frac{1}{2}$

$$\arcsin(\frac{1}{2}) = 30°$$

أوجد $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$

#### الحل:

نبحث عن الزاوية التي $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

نعلم أن $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$$\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30°$$

أوجد $\arctan(1)$

#### الحل:

نبحث عن الزاوية التي $\tan \theta = 1$

نعلم أن $\tan 45° = 1$

$$\arctan(1) = 45°$$

---

✅ مثال توضيحي: نفس الرقم، معنيان مختلفان

قارن بين $\sin^{-1}(0.5)$ و $(\sin 30°)^{-1}$

#### الحالة الأولى: دالة المعكوس

$$\sin^{-1}(0.5) = \arcsin(0.5) = 30°$$ المعنى: ما هي الزاوية التي ساينها = 0.5؟

#### الحالة الثانية: مقلوب القيمة

$$(\sin 30°)^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$$ المعنى: ما هو مقلوب العدد 0.5؟

#### النتيجة:

- $\sin^{-1}(0.5) = 30°$ (زاوية)

- $(\sin 30°)^{-1} = 2$ (رقم)

---

✅ جدول القيم الخاصة لدوال المقلوب

| الزاوية | sin θ | cos θ | tan θ | csc θ | sec θ | cot θ |

|------------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|

| 0° | 0 | 1 | 0 | غير معرف | 1 | غير معرف |

| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | 2 | 2/√3 | √3 |

| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | √2 | √2 | 1 |

| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | 2/√3 | 2 | 1/√3 |

| 90° | 1 | 0 | غير معرف | 1 | غير معرف | 0 |

---

✅ جدول القيم الخاصة لدوال المعكوس

| القيمة x | arcsin x | arccos x | arctan x |

|-------------|-------------|-------------|-------------|

| -1 | -90° | 180° | -45° |

| -√3/2 | -60° | 150° | - |

| -√2/2 | -45° | 135° | - |

| -1/2 | -30° | 120° | - |

| 0 | 0° | 90° | 0° |

| 1/2 | 30° | 60° | - |

| √2/2 | 45° | 45° | - |

| √3/2 | 60° | 30° | - |

| 1 | 90° | 0° | 45° |

---

✅ مجالات ومديات الدوال

#### القاطع (sec θ):

- المجال: جميع الزوايا حيث cos θ ≠ 0

- المدى: (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

#### قاطع التمام (csc θ):

- المجال: جميع الزوايا حيث sin θ ≠ 0

- المدى: (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

#### ظل التمام (cot θ):

- المجال: جميع الزوايا حيث sin θ ≠ 0

- المدى: (-∞, ∞)

#### معكوس الساين (arcsin x):

- المجال: [-1, 1]

- المدى: [-90°, 90°]

#### معكوس الكوساين (arccos x):

- المجال: [-1, 1]

- المدى: [0°, 180°]

#### معكوس الظل (arctan x):

- المجال: (-∞, ∞)

- المدى: (-90°, 90°)

---

✅ أمثلة متقدمة: تطبيقات مختلطة

في مثلث قائم، إذا كان الضلع المقابل = 3 والوتر = 5، أوجد csc θ

#### الحل:

$$\sin \theta = \frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}} = \frac{3}{5}$$ $$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{5}{3}$$

أوجد الزاوية θ إذا كان $\sin \theta = \frac{3}{5}$

#### الحل:

$$\theta = \arcsin(\frac{3}{5}) ≈ 36.87°$$

قارن بين $\csc(\arcsin(\frac{3}{5}))$ و $\frac{1}{\frac{3}{5}}$

#### الحل:

الطريقة الأولى: $$\csc(\arcsin(\frac{3}{5})) = \csc(36.87°) = \frac{1}{\sin(36.87°)} = \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}$$ الطريقة الثانية: $$\frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}$$ النتيجة: نفس الإجابة!

---

✅ مثال 4: مسألة هندسية

سلم طوله 10 أمتار يميل على جدار. إذا كان السلم يصنع زاوية 60° مع الأرض، أوجد:

1. 1. المسافة من قاعدة الجدار إلى قاعدة السلم
2. 2. ارتفاع السلم على الجدار

#### الحل:

1. المسافة الأفقية: $$\cos 60° = \frac{\text{مجاور}}{\text{وتر}} = \frac{x}{10}$$ $$x = 10 \cos 60° = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \text{ متر}$$ 2. الارتفاع: $$\sin 60° = \frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}} = \frac{y}{10}$$ $$y = 10 \sin 60° = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} ≈ 8.66 \text{ متر}$$ التحقق باستخدام دوال المقلوب: $$\sec 60° = \frac{\text{وتر}}{\text{مجاور}} = \frac{10}{5} = 2$$ $$\csc 60° = \frac{\text{وتر}}{\text{مقابل}} = \frac{10}{5\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$

---

✅ مثال 5: حل معادلة مثلثية

حل المعادلة: $2\sin \theta - 1 = 0$ في المجال [0°, 360°]

#### الحل:

إعادة ترتيب: $$2\sin \theta = 1$$ $$\sin \theta = \frac{1}{2}$$ استخدام دالة المعكوس: $$\theta = \arcsin(\frac{1}{2}) = 30°$$ البحث عن الحلول الأخرى:

في المجال [0°, 360°]، sin θ = 1/2 عند:

- θ = 30° (الربع الأول)

- θ = 180° - 30° = 150° (الربع الثاني)

الحل النهائي: θ = 30°, 150°

---

✅ مثال 6: تطبيق فيزيائي

قذيفة تُطلق بسرعة 50 م/ث. إذا وصلت إلى مدى أفقي 200 متر، أوجد زاوية الإطلاق. (تجاهل مقاومة الهواء)

#### المعادلة الفيزيائية:

$$R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$$

حيث:

- R = المدى = 200 م

- v = السرعة = 50 م/ث

- g = التسارع الأرضي = 9.8 م/ث²

#### الحل:

$$200 = \frac{(50)^2 \sin(2\theta)}{9.8}$$ $$200 = \frac{2500 \sin(2\theta)}{9.8}$$ $$\sin(2\theta) = \frac{200 \times 9.8}{2500} = 0.784$$ استخدام دالة المعكوس: $$2\theta = \arcsin(0.784) ≈ 51.7°$$ $$\theta ≈ 25.85°$$ الحل الثاني: $$2\theta = 180° - 51.7° = 128.3°$$ $$\theta ≈ 64.15°$$ النتيجة: يمكن تحقيق نفس المدى بزاويتين: 25.85° أو 64.15°

---

✅ الأخطاء الشائعة وكيفية تجنبها

❌ خطأ: $\sin^{-1} x = \frac{1}{\sin x}$

❌ خطأ: خلط بين "زاوية" و "نسبة"

- دوال المقلوب: زاوية → نسبة

- دوال المعكوس: نسبة → زاوية

❌ خطأ: $\arcsin(2) = ?$ (خارج المجال)

❌ خطأ: كتابة $(\sin x)^{-1}$ بدلاً من $\sin^{-1} x$

---

✅ نصائح للتمييز السريع

#### 1. ما نوع المدخل؟

- زاوية → دالة مقلوب محتملة

- نسبة عددية → دالة معكوس محتملة

#### 2. ما نوع المخرج المتوقع؟

- نسبة عددية → دالة مقلوب

- زاوية → دالة معكوس

#### 3. ما هو السؤال المطروح؟

- "كم مقلوب...؟" → دالة مقلوب

- "ما الزاوية التي...؟" → دالة معكوس

"المقلوب يقلب الكسر، والمعكوس يعكس العملية"

---

✅ تطبيقات عملية

- دوال المقلوب: حساب نسب البناء

- دوال المعكوس: تحديد زوايا الميل

- دوال المقلوب: حساب المسافات

- دوال المعكوس: تحديد الاتجاهات

- دوال المقلوب: تحليل القوى

- دوال المعكوس: حساب زوايا الحركة

- دوال المقلوب: تحليل الترددات

- دوال المعكوس: استرجاع الزوايا

---

✅ ملخص سريع للمراجعة

- csc θ = 1/sin θ

- sec θ = 1/cos θ

- cot θ = 1/tan θ

- مدخل: زاوية

- مخرج: نسبة عددية

- arcsin x (أو sin⁻¹ x)

- arccos x (أو cos⁻¹ x)

- arctan x (أو tan⁻¹ x)

- مدخل: نسبة عددية

- مخرج: زاوية

استخدم الرمز "arc" لتجنب اللبس مع الأس "-1"

---

✅ الخلاصة

الفرق الأساسي:

- دوال المقلوب تحسب مقلوب قيمة الدالة المثلثية

- دوال المعكوس تجد الزاوية التي تعطي قيمة معينة

للتذكر:

- مقلوب = 1 ÷ (قيمة الدالة)

- معكوس = الزاوية التي تعطي هذه القيمة

أهمية الفهم:

هذا التمييز أساسي في:

- حل المعادلات المثلثية

- التطبيقات الهندسية

- المسائل الفيزيائية

- الحسابات المتقدمة