مفهوم التكامل والتفاضل

مفهوم التكامل والتفاضل مفهوم التكامل والتفاضل

أهداف الدرس

فهم مفهوم التفاضل كمعدل تغير
فهم مفهوم التكامل كمساحة تحت المنحنى
اكتشاف العلاقة العكسية بين التكامل والتفاضل
التطبيق على الدوال الثابتة والخطية

المفهوم الأساسي

التفاضل والتكامل هما العمليتان الأساسيتان في حساب التفاضل والتكامل:

التفاضل = معدل التغير
التكامل = المساحة تحت المنحنى

السؤال المهم: كيف نربط بين معدل التغير والمساحة تحت المنحنى؟ وما هي العلاقة العكسية بينهما؟

الجزء الأول: الدالة الثابتة

لنبدأ بدالة بسيطة: $y = 3$ (دالة ثابتة)

رسم الدالة الثابتة ومعدل التغير

معدل التغير (التفاضل):

بما أن الدالة ثابتة (خط أفقي)، فإن معدل التغير = 0 في جميع النقاط

أي: $\frac{dy}{dx} = 0$

تكامل الدالة الثابتة

الآن لنحسب المساحة تحت المنحنى (التكامل) للدالة $y = 3$

المساحة تحت المنحنى للدالة الثابتة

ملاحظات مهمة:

من 0 إلى 1: المساحة = 1 × 3 = 3
من 0 إلى 2: المساحة = 2 × 3 = 6
من 0 إلى x: المساحة = $x \times 3 = 3x$
في الاتجاه السالب: المساحة تكون سالبة

\int 3 \, dx = 3x + C

العلاقة العكسية الأولى

لاحظ ما حدث:

الدالة الأصلية:

y = 3

التفاضل:

\frac{dy}{dx} = 0

التكامل:

\int 3 \, dx = 3x + C

الجزء الثاني: الدالة الخطية

الآن لنأخذ الدالة $y = 3x$ ونطبق عليها نفس العمليات

رسم الدالة الخطية ومعدل التغير

معدل التغير (التفاضل):

ميل الخط المستقيم ثابت = 3

أي: $\frac{d}{dx}(3x) = 3$

تكامل الدالة الخطية

الآن لنحسب المساحة تحت المنحنى للدالة $y = 3x$

المساحة تحت المنحنى للدالة الخطية

حساب المساحة:

عند x = 1: المساحة = $½ \times 1 \times 3 = 1.5$
عند x = 2: المساحة = $½ \times 2 \times 6 = 6$
بشكل عام: المساحة = $½ \times x \times (3x) = 1.5x²$

\int 3x \, dx = \frac{3x^2}{2} + C = 1.5x^2 + C

أمثلة محلولة

مثال 1: تفاضل دالة ثابتة

أوجد مشتقة الدالة

f(x) = 7

الحل:
بما أن

f(x) = 7

دالة ثابتة
فإن معدل التغير = 0

f'(x) = 0

مثال 2: تكامل دالة ثابتة

احسب

\int 3 \, dx

الحل:
بشكل عام:

\int a \, dx = ax + C

حيث

a

عدد ثابت
وفي هذه الحالة

a = 3

\int 3 \, dx = 3x + C

مثال 3: تفاضل دالة خطية

أوجد مشتقة الدالة

g(x) = 4x

الحل:
مشتقة

ax

a

g'(x) = 4

مثال 4: تكامل دالة خطية

احسب

\int 6x \, dx

الحل:

\int ax \, dx = \frac{ax^2}{2} + C

\int 6x \, dx = \frac{6x^2}{2} + C = 3x^2 + C

ملخص مهم

القواعد الأساسية:

تفاضل العدد الثابت = $0$
تكامل العدد الثابت $a = ax + C$
تفاضل $ax = a$
تكامل $ax = ax²/2 + C$
التكامل والتفاضل عمليتان عكسيتان

مفهوم التفاضل مقابل التكامل

أهداف الدرس

المفهوم الأساسي

الجزء الأول: الدالة الثابتة

رسم الدالة الثابتة ومعدل التغير

تكامل الدالة الثابتة

المساحة تحت المنحنى للدالة الثابتة

العلاقة العكسية الأولى

الجزء الثاني: الدالة الخطية

رسم الدالة الخطية ومعدل التغير

تكامل الدالة الخطية

المساحة تحت المنحنى للدالة الخطية

ملخص مهم

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات