المنطق الرياضي Logic

المنطق الرياضي

Mathematical Logic

أساس التفكير المنطقي والبراهين الرياضية

🎯 الأهداف التعليمية

بنهاية هذا الدرس، ستكون قادراً على:

  • فهم مفهوم العبارة المنطقية وقيم الحقيقة
  • تطبيق عملية النفي على العبارات المنطقية
  • بناء العبارات المركبة باستخدام الوصل والفصل
  • إنشاء واستخدام جداول الحقيقة

العبارة المنطقية وقيم الحقيقة Statements and Truth Values

العبارة المنطقية (Statement) هي جملة خبرية يمكن الحكم عليها بأنها صحيحة أو خاطئة، ولكن ليست الاثنين معاً.

كل عبارة منطقية لها قيمة حقيقة واحدة فقط: صحيحة (T) أو خاطئة (F)

✅ أمثلة على العبارات المنطقية

  • 5 + 3 = 8 ← عبارة صحيحة (T)
  • الإسكندرية عاصمة مصر ← عبارة خاطئة (F)
  • 7 عدد أولي ← عبارة صحيحة (T)
  • كل الطيور تطير ← عبارة خاطئة (F)

❌ ليست عبارات منطقية

  • ما اسمك؟ ← سؤال، ليس عبارة
  • أغلق الباب! ← أمر، ليس عبارة
  • x + 5 = 10 ← معادلة مفتوحة (تعتمد على قيمة x)
  • هذه الجملة خاطئة ← مفارقة منطقية

النفي Negation

النفي (Negation) هو عملية منطقية تحول العبارة إلى عكس قيمتها الحقيقية.

الرمز: ~p أو ¬p أو p' (نفي العبارة p)

🔄 أمثلة على النفي

p: 5 عدد زوجي (خاطئة)

~p: 5 ليس عدداً زوجياً (صحيحة)

q: الشمس تشرق من الشرق (صحيحة)

~q: الشمس لا تشرق من الشرق (خاطئة)

📊 جدول الحقيقة للنفي

p ~p
T F
F T

العبارات المركبة Compound Statements

العبارة المركبة (Compound Statement) هي عبارة تتكون من عبارتين بسيطتين أو أكثر مرتبطة بروابط منطقية.

الروابط المنطقية الأساسية: الوصل (∧)، الفصل (∨)، الشرط (→)، الشرط الثنائي (↔)

الوصل (العطف) Conjunction (AND)

الوصل (Conjunction) هو ربط عبارتين بـ "و" (AND). العبارة المركبة تكون صحيحة فقط عندما تكون كلا العبارتين صحيحتين.

الرمز: p ∧ q (تُقرأ: p و q)

🔗 مثال على الوصل

p: 5 > 3 (صحيحة)

q: 7 عدد زوجي (خاطئة)

p ∧ q: 5 > 3 و 7 عدد زوجي (خاطئة)

📊 جدول الحقيقة للوصل

p q p ∧ q
T T T
T F F
F T F
F F F

💡 الوصل صحيح فقط عندما تكون جميع العبارات صحيحة

الفصل Disjunction (OR)

الفصل (Disjunction) هو ربط عبارتين بـ "أو" (OR). العبارة المركبة تكون صحيحة عندما تكون إحدى العبارتين على الأقل صحيحة.

الرمز: p ∨ q (تُقرأ: p أو q)

🔀 مثال على الفصل

p: باريس عاصمة فرنسا (صحيحة)

q: 2 + 2 = 5 (خاطئة)

p ∨ q: باريس عاصمة فرنسا أو 2 + 2 = 5 (صحيحة)

📊 جدول الحقيقة للفصل

p q p ∨ q
T T T
T F T
F T T
F F F

💡 الفصل خاطئ فقط عندما تكون جميع العبارات خاطئة

جداول الحقيقة Truth Tables

جدول الحقيقة (Truth Table) هو أداة منظمة لعرض جميع القيم الممكنة لعبارة منطقية مركبة بناءً على قيم العبارات البسيطة المكونة لها.

عدد الصفوف = 2^n حيث n = عدد العبارات البسيطة

🧮 مثال: جدول حقيقة لعبارة مركبة

لنبني جدول الحقيقة للعبارة: (p ∧ q) ∨ ~p

p q ~p p ∧ q (p ∧ q) ∨ ~p
T T F T T
T F F F F
F T T F T
F F T F T

📝 خطوات بناء جدول الحقيقة

  1. حدد العبارات البسيطة: اكتب جميع المتغيرات (p, q, r...)
  2. احسب عدد الصفوف: 2^n صف (مثلاً: متغيران = 4 صفوف)
  3. املأ قيم الحقيقة الأساسية: بالتناوب المنتظم (T, F)
  4. احسب العبارات الوسيطة: مثل النفي والوصل البسيط
  5. احسب العبارة النهائية: باستخدام النتائج الوسيطة

تطبيقات عملية Practical Applications

💻 التطبيق في البرمجة

المنطق الرياضي هو أساس البرمجة والشروط:

if (age >= 18 && hasLicense) { // وصل
    canDrive = true;
}

if (isWeekend || isHoliday) { // فصل
    noWork = true;
}

🌍 أمثلة من الحياة اليومية

الوصل (AND):

سأذهب للنزهة إذا كان الطقس جميلاً و لدي وقت فراغ

الفصل (OR):

سآخذ المظلة إذا كانت السماء ملبدة بالغيوم أو توقعات الطقس تشير للمطر

النفي (NOT):

إذا كان الباب ليس مفتوحاً، فهو مغلق

أمثلة محلولة Solved Examples

✏️ التمرين الأول

حدد قيمة الحقيقة للعبارات التالية:

  1. 10 > 5 و 3 عدد زوجي
  2. مكة في السعودية أو القاهرة في المغرب
  3. ليس صحيحاً أن 2 + 2 = 5

✏️ التمرين الثاني

أكمل جدول الحقيقة للعبارة: ~(p ∨ q)

تلميح: احسب p ∨ q أولاً، ثم طبق النفي

✏️ التمرين الثالث: تحدٍ

اكتب عبارة منطقية تكون صحيحة فقط عندما يكون p صحيحاً و q خاطئاً.

فكر في استخدام النفي والوصل معاً

الخلاصة Summary

🎯 النقاط الرئيسية

📝

العبارة المنطقية

صحيحة أو خاطئة فقط

🔄

النفي

يعكس قيمة الحقيقة

🔗

الوصل والفصل

ربط العبارات منطقياً

📊

جداول الحقيقة

تنظيم القيم المنطقية

📌 مرجع سريع للرموز

~p

النفي (NOT)

p ∧ q

الوصل (AND)

p ∨ q

الفصل (OR)

p → q

الشرط (IF...THEN)

المنطق الرياضي هو لغة الرياضيات والحاسوب
أتقن أساسياته لتفتح لك أبواب التفكير المنطقي والبرمجة

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
53
الدرس التالي
جاري تحميل التعليقات...
المنطق الرياضي Logic | أكاديمية موسى