المُسَلَّمات و البراهين الحرة
أهداف الدرس
- التعرف على مفهوم المسلمة وأهميتها في الرياضيات
- فهم المسلمات الأساسية للنقاط والمستقيمات والمستويات
- تعلم كيفية استخدام المسلمات في كتابة البراهين
- التمييز بين التبرير الاستقرائي والاستنتاجي في البراهين
ما هي المسلمة؟
المسلمة هي معلومة أو عبارة تعطي وصفًا لعلاقة أساسية بين مفاهيم هندسية، نأخذها على أنها صحيحة بدون برهان.
ملاحظة: المسلمات واضحة وبديهية لدرجة أن الجميع يتفق على صحتها دون الحاجة إلى إثبات.
أمثلة من الحياة اليومية:
• الشخص لا يمكن أن يكون في مكانين في نفس اللحظة
• أقصر مسافة بين نقطتين هي الخط المستقيم
• الشخص لا يمكن أن يكون في مكانين في نفس اللحظة
• أقصر مسافة بين نقطتين هي الخط المستقيم
المسلمات الأساسية في الهندسة
1
مسلمة النقطتين والمستقيم
أي نقطتين يمر بهما مستقيم واحد فقط
2
مسلمة الثلاث نقاط والمستوى
أي ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة يمر بها مستوى واحد فقط
3
مسلمة نقاط المستقيم
كل مستقيم يحوي نقطتين على الأقل
4
مسلمة نقاط المستوى
كل مستوى يحوي ثلاث نقاط على الأقل ليست على استقامة واحدة
5
مسلمة المستقيم والمستوى
إذا وقعت نقطتان في مستوى، فإن المستقيم الوحيد المار بهما يقع كليًا في ذلك المستوى
6
مسلمة تقاطع المستقيمين
إذا تقاطع مستقيمان فيتقاطعان في نقطة واحدة فقط
7
مسلمة تقاطع المستويين
إذا تقاطع مستويان فتقاطعهما يكون مستقيمًا
أهمية المسلمات
نستخدم المسلمات للوصول إلى برهان، وعن طريقها ننتقل من التخمين إلى النظرية
خطوات كتابة البرهان
1
كتابة المعطيات
نبدأ بتحديد وكتابة جميع المعلومات المعطاة في المسألة بشكل واضح ومنظم
2
كتابة المطلوب إثباته
نحدد العبارة أو التخمين الذي نريد إثباته بوضوح
3
استخدام التبرير الاستنتاجي
نطبق الحالات العامة على الحالات الخاصة باستخدام المنطق الرياضي
4
تطبيق التعريفات والمسلمات
نستخدم التعريفات والمسلمات المعروفة في الرياضيات للوصول إلى النتائج
5
الوصول إلى النتيجة
نصل إلى إثبات التخمين وتحويله إلى نظرية مثبتة علميًا
أمثلة محلولة
مثال 1: استخدام مسلمة النقطتين والمستقيم
1
إذا كانت النقطتان A و B مختلفتان، فكم مستقيم يمر بهما؟
الحل:
بحسب مسلمة النقطتين والمستقيم:
"أي نقطتين يمر بهما مستقيم واحد فقط"
إذن: يمر بالنقطتين A و B مستقيم واحد فقط.
بحسب مسلمة النقطتين والمستقيم:
"أي نقطتين يمر بهما مستقيم واحد فقط"
إذن: يمر بالنقطتين A و B مستقيم واحد فقط.
مثال 2: استخدام مسلمة تقاطع المستقيمين
2
إذا تقاطع المستقيمان ℓ و m، فكم نقطة تقاطع بينهما؟
الحل:
بحسب مسلمة تقاطع المستقيمين:
"إذا تقاطع مستقيمان فيتقاطعان في نقطة واحدة فقط"
إذن: المستقيمان ℓ و m يتقاطعان في نقطة واحدة فقط.
بحسب مسلمة تقاطع المستقيمين:
"إذا تقاطع مستقيمان فيتقاطعان في نقطة واحدة فقط"
إذن: المستقيمان ℓ و m يتقاطعان في نقطة واحدة فقط.
مثال 3: برهان باستخدام المسلمات
3
أثبت أن: ثلاث نقاط A، B، C غير واقعة على استقامة واحدة تحدد مستوى واحد فقط
البرهان:
المعطيات: النقاط A، B، C لا تقع على استقامة واحدة
المطلوب: إثبات أن هذه النقاط تحدد مستوى واحد فقط
الخطوات:
1. بما أن النقاط A، B، C لا تقع على استقامة واحدة (معطى)
2. وبحسب مسلمة الثلاث نقاط والمستوى:
"أي ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة يمر بها مستوى واحد فقط"
3. إذن: النقاط A، B، C تحدد مستوى واحد فقط ✓
المعطيات: النقاط A، B، C لا تقع على استقامة واحدة
المطلوب: إثبات أن هذه النقاط تحدد مستوى واحد فقط
الخطوات:
1. بما أن النقاط A، B، C لا تقع على استقامة واحدة (معطى)
2. وبحسب مسلمة الثلاث نقاط والمستوى:
"أي ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة يمر بها مستوى واحد فقط"
3. إذن: النقاط A، B، C تحدد مستوى واحد فقط ✓
مثال 4: تطبيق متعدد للمسلمات
4
إذا كان المستقيم AB يقع في المستوى P، والنقطة C تقع في المستوى P ولا تقع على المستقيم AB،
فأثبت أن المستقيم AC يقع بالكامل في المستوى P
البرهان:
المعطيات:
• المستقيم AB يقع في المستوى P
• النقطة C في المستوى P
• النقطة C لا تقع على المستقيم AB
المطلوب: إثبات أن المستقيم AC يقع بالكامل في المستوى P
الخطوات:
1. بما أن المستقيم AB يقع في المستوى P، فإن النقطتين A و B تقعان في المستوى P
2. النقطة C تقع في المستوى P (معطى)
3. إذن النقطتان A و C تقعان في المستوى P
4. بحسب مسلمة المستقيم والمستوى:
"إذا وقعت نقطتان في مستوى، فإن المستقيم الوحيد المار بهما يقع كليًا في ذلك المستوى"
5. إذن: المستقيم AC يقع بالكامل في المستوى P ✓
المعطيات:
• المستقيم AB يقع في المستوى P
• النقطة C في المستوى P
• النقطة C لا تقع على المستقيم AB
المطلوب: إثبات أن المستقيم AC يقع بالكامل في المستوى P
الخطوات:
1. بما أن المستقيم AB يقع في المستوى P، فإن النقطتين A و B تقعان في المستوى P
2. النقطة C تقع في المستوى P (معطى)
3. إذن النقطتان A و C تقعان في المستوى P
4. بحسب مسلمة المستقيم والمستوى:
"إذا وقعت نقطتان في مستوى، فإن المستقيم الوحيد المار بهما يقع كليًا في ذلك المستوى"
5. إذن: المستقيم AC يقع بالكامل في المستوى P ✓
خلاصة: المسلمات هي أساس البناء المنطقي في الرياضيات، ومن خلالها نستطيع إثبات النظريات والوصول إلى نتائج جديدة
انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات
👨💻
جاري تحميل التعليقات...