المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة

الأجزاء المتناسبة في القواطع للمستقيمات المتوازية

إذا قطع مستقيمان ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر
فإن النسبة بين أي قطعتين على أحد القاطعين
= النسبة بين القطعتين المقابلتين على القاطع الآخر

فهم المفهوم:

مستقيمات متوازية: ثلاثة أو أكثر، لا تلتقي أبداً
قاطعان: مستقيمان يقطعان جميع المستقيمات المتوازية
النسب متساوية: بغض النظر عن زاوية القطع
القانون عام: يطبق على أي عدد من المستقيمات المتوازية

نقطة مهمة: لا يشترط أن تكون القواطع عمودية على المستقيمات المتوازية. النسبة تبقى ثابتة حتى لو كانت مائلة.

تجربة تفاعلية - تأثير تحريك المستقيمات

لاحظ كيف تتغير النسب عند تحريك المستقيم الثالث

موقع المستقيم الثالث: 0.7

زاوية القاطع الثاني: 45°

النسبة الأولى = النسبة الثانية

نظرية الأجزاء المتناسبة

نظرية الأجزاء المتناسبة للمستقيمات المتوازية

إذا قطع مستقيمان ثلاثة مستقيمات متوازية
فإن النسبة بين القطع على أحد القاطعين
تساوي النسبة بين القطع المقابلة على القاطع الآخر

$\text{إذا كانت } l_1 \parallel l_2 \parallel l_3$

$\text{وقطعها مستقيمان } m \text{ و } n$

$\text{فإن } \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}$

فهم النظرية:

مستقيمات متوازية

←

قاطعان

←

قطع متناسبة

←

نسب متساوية

المفتاح: هذه النظرية أساس العديد من النظريات الأخرى في الهندسة، مثل التشابه ونظرية التناسب في المثلث.

الحالات الخاصة:

إذا كانت النسبة = 1: فالقطع متساوية
إذا كانت النسبة = 1/2: فأحد القطع نصف الآخر
أكثر من 3 مستقيمات: النظرية تنطبق على أي عدد

المثال من الشرح

المثال الأساسي (من الشرح الصوتي)

المعطى: ثلاثة مستقيمات متوازية يقطعها قاطعان

القاطع الأول: قطعتان متساويتان (النسبة = 1)
القاطع الثاني: قطعة أولى = 4x + 3، قطعة ثانية = 6x - 5

المطلوب: إيجاد قيمة x

1 تطبيق نظرية الأجزاء المتناسبة:
بما أن القطعتين على القاطع الأول متساويتان، فالنسبة بينهما = 1
إذن النسبة بين القطعتين على القاطع الثاني = 1 أيضاً

2 تكوين المعادلة:

$\frac{4x + 3}{6x - 5} = 1$

3 حل المعادلة:

$4x + 3 = 6x - 5$

$4x - 6x = -5 - 3$

$-2x = -8$

$x = 4$

x = 4

4 التحقق:
القطعة الأولى = 4(4) + 3 = 19
القطعة الثانية = 6(4) - 5 = 19
النسبة = 19/19 = 1 ✓

أمثلة متنوعة

مثال محلول 1: نسب مختلفة

المعطى: ثلاثة مستقيمات متوازية، قاطعان يكونان قطعاً بأطوال:

القاطع الأول: AB = 6, BC = 9

القاطع الثاني: DE = 4, EF = ?

1 تطبيق النظرية:

$\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}$

2 التعويض:

$\frac{6}{9} = \frac{4}{EF}$

3 الحل:

$6 \times EF = 9 \times 4$

$6 \times EF = 36$

$EF = 6$

EF = 6

مثال محلول 2: أربعة مستقيمات متوازية

المعطى: أربعة مستقيمات متوازية، قاطعان

القاطع الأول: AB = 3, BC = 5, CD = 7

القاطع الثاني: EF = 6, FG = ?, GH = 14

1 استخدام النسبة الأولى:

$\frac{AB}{BC} = \frac{EF}{FG}$

$\frac{3}{5} = \frac{6}{FG}$

2 حل للحصول على FG:

$3 \times FG = 5 \times 6$

$FG = 10$

3 التحقق بالنسبة الثانية:

$\frac{BC}{CD} = \frac{FG}{GH}$

$\frac{5}{7} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$

✓

FG = 10

مثال محلول 3: تطبيق عملي

المسألة: مهندس يصمم سلماً بدرجات متوازية

المسافة بين الدرجة الأولى والثانية = 30 سم

المسافة بين الثانية والثالثة = 40 سم

إذا كان عرض السلم متغير، وعند نقطة معينة المسافة بين النقاط المقابلة للدرجة الأولى والثانية = 18 سم

المطلوب: المسافة بين النقاط المقابلة للدرجة الثانية والثالثة

1 تطبيق نظرية الأجزاء المتناسبة:

$\frac{30}{40} = \frac{18}{x}$

2 الحل:

$30x = 40 \times 18$

$x = \frac{720}{30} = 24$

المسافة المطلوبة = 24 سم

التطبيقات والفوائد

استخدامات نظرية الأجزاء المتناسبة:

الهندسة المعمارية: تصميم الدرج والأعمدة المتوازية
الخرائط والمقاييس: حساب المسافات الحقيقية
الفن والتصميم: تحقيق التناسب والجمال
الهندسة الإنشائية: توزيع الأحمال بتناسب
أساس نظريات أخرى: التشابه ونظرية التناسب في المثلث

النوع المعطى المطلوب الطريقة نسب بسيطة 3 قطع معلومة القطعة الرابعة النسبة المتناسبة معادلات جبرية قطع بدلالة متغيرات قيمة المتغير حل المعادلة قطع متساوية نسبة = 1 إثبات التساوي تطبيق مباشر

الربط بنظرية التناسب في المثلث

من الشرح: "لو خلينا المستقيمين القاطعين هذول يلتقون عند المستقيم الموازي الثالث، فالجزئية هذه رح تكون عندنا مثلث، وهذه تنقلنا إلى نظرية التناسب في المثلث"

كيف تتحول إلى مثلث؟

القاطعان يلتقيان: عند نقطة على أحد المستقيمات المتوازية
تكوين مثلث: بين نقطة التقاء والمستقيمين الآخرين
نظرية التناسب في المثلث: حالة خاصة من نظرية الأجزاء المتناسبة
الدرس القادم: سنتعلم تطبيق هذا في المثلثات

مستقيمات متوازية

←

قاطعان يلتقيان

←

تكوين مثلث

←

نظرية التناسب في المثلث

الخلاصة

الأجزاء المتناسبة: إذا قطع مستقيمان مستقيمات متوازية
فالنسبة بين القطع على أحد القاطعين = النسبة بين القطع المقابلة على الآخر

النقاط المهمة:

تنطبق على أي عدد من المستقيمات المتوازية
لا تعتمد على زاوية القطع
النسب متساوية دائماً
أساس للعديد من النظريات الأخرى
تطبيقات عملية واسعة

$\text{إذا كانت } l_1 \parallel l_2 \parallel l_3 \text{ وقطعها مستقيمان}$

$\text{فإن } \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

أخطاء شائعة:

الخلط في ترتيب النسب - تأكد من المقابلة الصحيحة
نسيان أن النظرية تحتاج مستقيمات متوازية
عدم التحقق من الإجابة بالتعويض