معادلة الدائرة

الموضوع: معادلة الدائرة وإيجاد المركز ونصف القطر

المفاهيم: المعادلة العامة، الدائرة عند نقطة الأصل، تغير الإشارات، المركز ونصف القطر

الهدف: فهم معادلة الدائرة وكيفية كتابتها بمعرفة المركز ونصف القطر

1 المعادلة العامة للدائرة

(x - h)² + (y - k)² = r²

عناصر المعادلة

المعادلة تتكون من:

• (h, k) = إحداثيات مركز الدائرة
• r = نصف القطر
• r² = نصف القطر تربيع (دائماً في الجهة اليمنى من المعادلة)

ملاحظة مهمة: علامة السالب موجودة دائماً في المعادلة قبل h و k

الجهة اليمنى دائماً r²

قاعدة: الجهة اليمنى من المعادلة دائماً تساوي نصف القطر تربيع

• إذا كان نصف القطر = 5، فالمعادلة تنتهي بـ = 25
• إذا كان نصف القطر = 3، فالمعادلة تنتهي بـ = 9
• إذا كان نصف القطر = 7، فالمعادلة تنتهي بـ = 49

r = 5 → r² = 25

r = 3 → r² = 9

r = 7 → r² = 49

النتيجة: المعادلة العامة (x - h)² + (y - k)² = r² حيث (h, k) المركز و r نصف القطر

2 الدائرة عند نقطة الأصل

x² + y² = r²

عندما h = 0 و k = 0

عندما يكون مركز الدائرة عند نقطة الأصل (0, 0):

• نضع h = 0 و k = 0 في المعادلة العامة
• تصبح المعادلة: (x - 0)² + (y - 0)² = r²
• وهذا يساوي: x² + y² = r²

هذه أبسط صورة لمعادلة الدائرة!

مثال

السؤال: أوجد معادلة دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 4

الحل:
• المركز عند (0, 0)
• نصف القطر r = 4
• نستخدم المعادلة: x² + y² = r²

x² + y² = 16

لأن 4² = 16

النتيجة: عندما المركز عند الأصل، المعادلة تصبح x² + y² = r²

3 تغير الإشارات (أهم نقطة!)

⚠️ علامة السالب موجودة دائماً في المعادلة

القاعدة الذهبية

الإشارة في المعادلة عكس إشارة المركز!

• إذا كان h موجباً → نضع (x - h)
• إذا كان h سالباً → نضع (x - (-h)) = (x + h)

• إذا كان k موجباً → نضع (y - k)
• إذا كان k سالباً → نضع (y - (-k)) = (y + k)

لماذا؟
لأن علامة السالب موجودة في المعادلة الأصلية (x - h)²
فعندما نعوض h سالبة، يصبح سالب في سالب = موجب

جدول الإشارات

المركز	في المعادلة	السبب
(2, 3)	(x-2)² + (y-3)²	موجب → سالب
(-2, -3)	(x+2)² + (y+3)²	سالب → موجب
(5, -1)	(x-5)² + (y+1)²	مختلطة
(-4, 6)	(x+4)² + (y-6)²	مختلطة

النتيجة: الإشارة في المعادلة دائماً عكس إشارة المركز (سالب في المعادلة!)

أمثلة محلولة

مثال 1: مركز سالب

المعطيات:
المركز: (-2, -2)
نصف القطر: r = 5

الحل:
x - (-2) → x + 2
y - (-2) → y + 2
r² = 25

(x+2)² + (y+2)² = 25

ملاحظة: السالب في السالب = موجب

مثال 2: مركز موجب

المعطيات:
المركز: (2, 2)
نصف القطر: r = 5

الحل:
x - 2 (السالب من المعادلة)
y - 2 (السالب من المعادلة)
r² = 25

(x-2)² + (y-2)² = 25

ملاحظة: نحتفظ بالسالب من المعادلة

مثال 3: إشارات مختلطة

المعطيات: المركز (3, -4) ونصف القطر 6

الحل:
• h = 3 (موجب) → في المعادلة: (x - 3)
• k = -4 (سالب) → في المعادلة: (y - (-4)) = (y + 4)
• r = 6 → r² = 36

(x-3)² + (y+4)² = 36

مقارنة بصرية

❌ خطأ شائع

المركز: (-2, -3)

(x-2)² + (y-3)² = r²

نسينا أن السالب موجود في المعادلة!

✓ صحيح

المركز: (-2, -3)

(x+2)² + (y+3)² = r²

سالب × سالب = موجب

ملخص المعادلات

المعادلة العامة

(x-h)² + (y-k)² = r²

المركز: (h, k)
نصف القطر: r

عند الأصل

x² + y² = r²

المركز: (0, 0)
نصف القطر: r

تغير الإشارة

h موجب → (x-h)
h سالب → (x+h)
الإشارة تنعكس!

نصائح مهمة

• الجهة اليمنى دائماً r² (نصف القطر تربيع)

• السالب موجود في المعادلة قبل h و k

• إذا كان المركز سالب، الإشارة في المعادلة تصبح موجب

• إذا كان المركز موجب، الإشارة في المعادلة تبقى سالب

• عند الأصل (0,0) المعادلة تصبح x² + y² = r²

• لا تنسى تربيع نصف القطر في الجهة اليمنى

معادلة الدائرة

اختبر فهمك

اختبار معادلة الدائرة

الشرح