ملخص الفصل الثالث

الرياضيات — الصف الأول الثانوي

محتوى الفصل: المضلعات المتشابهة — نظريات التناسب — التحويلات الهندسية — الدائرة — معادلة الدائرة.

المتشابهات

تطابق الزوايا + تناسب الأضلاع

التحويلات

انعكاس — إزاحة — دوران

الدائرة

زوايا — مماسات — معادلة

المضلعات والمثلثات المتشابهة

— مضلعان متشابهان إذا كانت زواياهما المتناظرة متطابقة والنسبة بين أضلاعهما المتناظرة ثابتة.

— معامل التشابه k: القيمة الثابتة لنسبة الأضلاع المتناظرة.

\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k

حالات تشابه المثلثات

— ز ز (AA): تساوي زاويتين متناظرتين.

— ض ض ض (SSS): تناسب الأضلاع الثلاثة المتناظرة.

— ض ز ض (SAS): تناسب ضلعين مع تساوي الزاوية المحصورة بينهما.

— حرّك المتحكم لمشاهدة تأثير معامل التشابه:

k = 1

ملاحظة

— نسبة محيطَي مثلثين متشابهين = k، ونسبة مساحتيهما = k².

نسبة الأضلاع = k — نسبة المحيطات = k — نسبة المساحات = k²

نظريات التناسب في المثلث

نظرية التناسب

— إذا كان مستقيم موازٍ لضلع من المثلث ويقطع الضلعين الآخرين، فإن:

\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

نظرية القطعة المتوسطة

— القطعة الواصلة بين منتصفَي ضلعين في المثلث:

— موازية للضلع الثالث.

— طولها يساوي نصف طول الضلع الثالث:

MN = \frac{1}{2} \times BC

ملاحظة

— عمود منصف أي وتر في الدائرة يمر بمركزها — هذا تطبيق لنظرية التناسب.

خط موازٍ لضلع في المثلث يُنشئ نسباً متساوية في الضلعين الآخرين

التحويلات الهندسية

الانعكاس

— حول محور x:

(x, y) \to (x, -y)

— حول محور y:

(x, y) \to (-x, y)

الإزاحة بمقدار (a، b)

(x, y) \to (x + a,\ y + b)

الدوران حول نقطة الأصل

— دوران 90°:

(x, y) \to (-y, x)

— دوران 180°:

(x, y) \to (-x, -y)

— اختر التحويل لمشاهدته:

ملاحظة

— انعكاسان حول مستقيمَين متوازيَين = إزاحة. انعكاسان حول مستقيمَين متقاطعَين = دوران.

جميع التحويلات تحفظ الأطوال والزوايا — الشكل يظل متطابقاً مع الأصل

الدائرة — الزوايا والمماسات

الزوايا في الدائرة

— الزاوية المركزية = قياس القوس المقابل.

— الزاوية المحيطية = نصف قياس القوس المقابل.

— زاوية محيطية مقابلة لقطر = 90°.

— شكل رباعي محاط بدائرة: كل زاويتين متقابلتين مجموعهما 180°.

\text{طول القوس} = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r

المماسات والقواطع

— المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس.

— مماسان من نقطة خارجية: متساويان في الطول.

— تقاطع داخلي: الزاوية = نصف (قوس + قوس مقابل).

— تقاطع خارجي: الزاوية = نصف (القوس الأكبر − الأصغر).

نظريات الأطوال

— وتران يتقاطعان داخل الدائرة:

AB \times BC = DB \times BE

— قاطعان من نقطة خارجية:

\text{كامل}_1 \times \text{خارجي}_1 = \text{كامل}_2 \times \text{خارجي}_2

— مماس وقاطع من نقطة خارجية:

t^2 = \text{كامل} \times \text{خارجي}

زاوية محيطية = ½ × قوس — تقاطع داخلي: جداء الجزأين متساويان

معادلة الدائرة

— مركزها نقطة الأصل:

x^2 + y^2 = r^2

— مركزها النقطة (a، b):

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

— حرّك المتحكمات لرسم الدائرة:

a = 1

b = 1

r = 2

مثال ١

— مركز (2، −3) ونصف قطر 5:

(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25

مثال ٢ — إكمال المربع

— الدائرة:

x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0

— نكمل المربع:

(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25

— المركز (3، −2) ونصف القطر 5.

إشارات المركز تُعكس في المعادلة — الطرف الأيمن هو r² وليس r

جدول المراجعة السريعة

الموضوع	القاعدة الأساسية
تشابه المضلعات	زوايا متطابقة + أضلاع متناسبة بمعامل k
القطعة المتوسطة	موازية للضلع الثالث وطولها نصفه
انعكاس حول x	(x، y) → (x، −y)
دوران 90°	(x، y) → (−y، x)
الزاوية المحيطية	= ½ × القوس المقابل
وتران يتقاطعان داخلاً	جزء × جزء = جزء × جزء
معادلة الدائرة	(x−a)² + (y−b)² = r²

الخلاصة

— التشابه: معامل التشابه k يربط الأضلاع والمحيطات، وk² يربط المساحات.

— التناسب: الخط الموازي لضلع المثلث يُنشئ نسباً متساوية — والقطعة المتوسطة نصف الضلع الثالث.

— التحويلات: الانعكاس يعكس الإشارة، الإزاحة تضيف (a،b)، الدوران 90° يُبدّل الإحداثيين مع عكس الإشارة.

— الدائرة: الزاوية المحيطية = نصف المركزية — تقاطع داخلي: جداء الجزأين — تقاطع خارجي: نصف الفرق.

— معادلة الدائرة: إحداثيات المركز تُعكس إشاراتها في المعادلة، والطرف الأيمن هو نصف القطر مربعاً.

ملخص الرياضيات أول ثانوي (الفصل الثالث) الجزء الأول

الشرح

ملخص الفصل الثالث

المضلعات والمثلثات المتشابهة

نظريات التناسب في المثلث

التحويلات الهندسية

الدائرة — الزوايا والمماسات

معادلة الدائرة

جدول المراجعة السريعة

الخلاصة