ملخص الرياضيات أول ثانوي (الفصل الثالث) الجزء الأول

ملخص الصف الأول - الفصل الثالث ملخص الصف الأول - الفصل الثالث

محتوى الدرس

المضلعات المتشابهة والمثلثات المتشابهة
نظريات التناسب والقطع المنصفة في المثلثات
التحويلات الهندسية: الانعكاس، الإزاحة، والدوران
الدائرة: الزوايا المركزية والمحيطية، المماسات والقواطع
معادلة الدائرة في المستوى الإحداثي

1. المضلعات المتشابهة

متى نقول عن مضلعين أنهم متشابهين؟

إذا كانت الزوايا المتناظرة متطابقة (متساوية)
النسبة بين كل ضلع وضلع متناظر ثابتة

إذا كان المضلعان متشابهين، فإن:

\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = ... = k

حيث $k$ هو معامل التشابه

استكشاف المضلعات المتشابهة

معامل التشابه: 1

ملاحظة مهمة: النسبة بين محيطي المضلعين المتشابهين = معامل التشابه

2. المثلثات المتشابهة

حالات تشابه المثلثات:

زاوية - زاوية (AA): إذا تساوت زاويتان متناظرتان في المثلثين
ضلع - ضلع - ضلع (SSS): إذا كانت النسبة بين الأضلاع المتناظرة ثابتة
ضلع - زاوية - ضلع (SAS): إذا تساوت النسبة بين ضلعين متناظرين وتساوت الزاوية المحصورة بينهما

نتائج تشابه المثلثات

إذا كان المثلثان متشابهين بمعامل تشابه $k$ ، فإن:

نسبة الارتفاعات = $k$

نسبة القطع المنصفة = $k$

نسبة القطع المتوسطة = $k$

استكشاف تشابه المثلثات

3. نظريات التناسب في المثلث

نظرية التناسب في المثلث

إذا كان خط مستقيم موازٍ لأحد أضلاع المثلث ويقطع الضلعين الآخرين، فإن:

\frac{AB}{BC} = \frac{AE}{ED}

نظرية القطعة المنصفة

القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين في المثلث:

• موازية للضلع الثالث

• طولها = نصف طول الضلع الثالث

استكشاف نظرية التناسب

4. التحويلات الهندسية

أ. الانعكاس

حول محور x: $(x, y) → (x, -y)$
حول محور y: $(x, y) → (-x, y)$
حول الخط y = x: $(x, y) → (y, x)$

ب. الإزاحة

إزاحة النقطة $(x, y)$ بمقدار $(a, b)$ :

(x, y) → (x + a, y + b)

ج. الدوران حول نقطة الأصل

دوران 90°: $(x, y) → (y, -x)$
دوران 180°: $(x, y) → (-x, -y)$
دوران 270°: $(x, y) → (y, -x)$

استكشاف التحويلات الهندسية

تركيب التحويلات

• انعكاسان حول مستقيمين متوازيين = إزاحة بمقدار ضعف المسافة بينهما

• انعكاسان حول مستقيمين متقاطعين = دوران بزاوية ضعف زاوية التقاطع

5. الدائرة

أ. المفاهيم الأساسية

نصف القطر: المسافة من المركز إلى أي نقطة على المحيط
القطر: وتر يمر بمركز الدائرة
الوتر: قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين على محيط الدائرة

محيط الدائرة = $2\pi r$ = $\pi d$

طول القوس = $\frac{\theta}{360°} \times 2\pi r$

ب. الزوايا في الدائرة

قياس الزوايا

• الزاوية المركزية = قياس القوس المقابل

• الزاوية المحيطية = نصف قياس القوس المقابل

• الزاوية المحيطية المقابلة لقطر = 90°

استكشاف الزوايا في الدائرة

ج. المماسات والقواطع

المماس: مستقيم يمس الدائرة في نقطة واحدة فقط
القاطع: مستقيم يقطع الدائرة في نقطتين

نظريات المماسات

• المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس

• المماسان المرسومان من نقطة خارج الدائرة متساويان في الطول

استكشاف المماسات والقواطع

6. معادلة الدائرة

معادلة الدائرة التي مركزها نقطة الأصل:

x^2 + y^2 = r^2

معادلة الدائرة التي مركزها $(h, k)$ :

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

رسم الدائرة من معادلتها

إحداثي x للمركز: 1

إحداثي y للمركز: 1

نصف القطر: 2

أمثلة محلولة

مثال 1: كتابة معادلة دائرة

1

اكتب معادلة الدائرة التي مركزها

(2, -3)

ونصف قطرها

5

الحل:
نستخدم الصيغة:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

حيث

(h, k) = (2, -3)

و

r = 5

(x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 5^2

(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25

مثال 2: إيجاد المركز ونصف القطر

2

أوجد مركز ونصف قطر الدائرة:

x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0

الحل:
نكمل المربع:

(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 12

(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4

(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25

المركز:

(3, -2)

، نصف القطر:

5

مثال 3: المثلثات المتشابهة

3

في مثلثين متشابهين، إذا كانت أطوال أضلاع المثلث الأول

6

،

8

،

10

وكان أطول ضلع في المثلث الثاني

15

، أوجد محيط المثلث الثاني.

الحل:
معامل التشابه =

\frac{15}{10} = 1.5

أطوال أضلاع المثلث الثاني:

6 \times 1.5 = 9

8 \times 1.5 = 12

10 \times 1.5 = 15

محيط المثلث الثاني =

9 + 12 + 15 = 36

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا

👨‍💻

أول ثانوي الفصل الثالث

جاري تحميل التعليقات...