التحويل من الإحداثيات القطبية إلى الديكارتية

طريقة تحويل النقاط من النظام القطبي إلى النظام الديكارتي

---

✅ ما هي الإحداثيات القطبية والديكارتية؟

- x = المسافة الأفقية من الأصل

- y = المسافة العمودية من الأصل

- تستخدم شبكة مربعة من الخطوط المتعامدة

- r = المسافة من نقطة الأصل (نصف القطر)

- θ = الزاوية من المحور الموجب للـ x

- تستخدم دوائر متحدة المركز وخطوط شعاعية

كلا النظامين يحدد نفس النقطة في المستوى، لكن بطرق مختلفة.

---

✅ قوانين التحويل الأساسية

$$x = r \cos \theta$$ $$y = r \sin \theta$$

في دائرة الوحدة حيث r = 1:

- $x = \cos \theta$

- $y = \sin \theta$

عندما نضرب في r، نحصل على:

- $x = r \cos \theta$

- $y = r \sin \theta$

```

y

↑

|

| • النقطة (x,y)

| /|

|/θ| r

------+--------→ x

|

|

```

---

✅ مثال مفصل 1: زاوية موجبة في الربع الأول

r = 4, θ = π/6 (30°)

#### تطبيق القوانين:

حساب x: $$x = r \cos \theta = 4 \cos \frac{\pi}{6}$$

نعلم أن: $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$$x = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$ حساب y: $$y = r \sin \theta = 4 \sin \frac{\pi}{6}$$

نعلم أن: $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

$$y = 4 \times \frac{1}{2} = 2$$

#### الحل النهائي:

الإحداثيات الديكارتية: $(2\sqrt{3}, 2)$

#### التحقق:

- x > 0, y > 0 → النقطة في الربع الأول ✅

- π/6 = 30° → زاوية في الربع الأول ✅

---

✅ مثال 2: نصف قطر سالب

r = -6, θ = -120°

#### فهم نصف القطر السالب:

عندما r سالب، النقطة تكون في الاتجاه المعاكس للزاوية θ

#### تطبيق القوانين:

حساب x: $$x = r \cos \theta = (-6) \cos(-120°)$$

نستخدم خاصية الكوساين الزوجية: $\cos(-θ) = \cos(θ)$

$$\cos(-120°) = \cos(120°) = -\frac{1}{2}$$ $$x = (-6) \times (-\frac{1}{2}) = 3$$ حساب y: $$y = r \sin \theta = (-6) \sin(-120°)$$

نستخدم خاصية الساين الفردية: $\sin(-θ) = -\sin(θ)$

$$\sin(-120°) = -\sin(120°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$y = (-6) \times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 3\sqrt{3}$$

#### الحل النهائي:

الإحداثيات الديكارتية: $(3, 3\sqrt{3})$

---

✅ مثال 3: زاوية في الربع الثاني

r = 5, θ = 150°

#### تطبيق القوانين:

حساب x: $$x = 5 \cos(150°)$$ $$\cos(150°) = \cos(180° - 30°) = -\cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = 5 \times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{5\sqrt{3}}{2}$$ حساب y: $$y = 5 \sin(150°)$$ $$\sin(150°) = \sin(180° - 30°) = \sin(30°) = \frac{1}{2}$$ $$y = 5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$$

#### الحل النهائي:

الإحداثيات الديكارتية: $(-\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2})$

#### التحقق:

- x < 0, y > 0 → الربع الثاني ✅

---

✅ مثال 4: زاوية في الربع الثالث

r = 3, θ = 225°

#### تطبيق القوانين:

حساب x: $$x = 3 \cos(225°)$$ $$\cos(225°) = \cos(180° + 45°) = -\cos(45°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = 3 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$$ حساب y: $$y = 3 \sin(225°)$$ $$\sin(225°) = \sin(180° + 45°) = -\sin(45°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$y = 3 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$$

#### الحل النهائي:

الإحداثيات الديكارتية: $(-\frac{3\sqrt{2}}{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{2})$

---

✅ مثال 5: زاوية في الربع الرابع

r = 8, θ = -60° أو θ = 300°

#### تطبيق القوانين:

حساب x: $$x = 8 \cos(-60°) = 8 \cos(60°) = 8 \times \frac{1}{2} = 4$$ حساب y: $$y = 8 \sin(-60°) = 8 \times (-\sin(60°)) = 8 \times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -4\sqrt{3}$$

#### الحل النهائي:

الإحداثيات الديكارتية: $(4, -4\sqrt{3})$

---

✅ مثال 6: زوايا خاصة - المحاور

r = 7, θ = 0° $$x = 7 \cos(0°) = 7 \times 1 = 7$$ $$y = 7 \sin(0°) = 7 \times 0 = 0$$ النتيجة: $(7, 0)$ r = 4, θ = 90° $$x = 4 \cos(90°) = 4 \times 0 = 0$$ $$y = 4 \sin(90°) = 4 \times 1 = 4$$ النتيجة: $(0, 4)$ r = 2, θ = 180° $$x = 2 \cos(180°) = 2 \times (-1) = -2$$ $$y = 2 \sin(180°) = 2 \times 0 = 0$$ النتيجة: $(-2, 0)$

---

✅ مثال 7: زوايا بالراديان

r = 6, θ = 2π/3

#### تحويل إلى درجات للفهم:

$\frac{2\pi}{3} = \frac{2 \times 180°}{3} = 120°$

#### تطبيق القوانين:

حساب x: $$x = 6 \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 6 \cos(120°)$$ $$\cos(120°) = -\frac{1}{2}$$ $$x = 6 \times (-\frac{1}{2}) = -3$$ حساب y: $$y = 6 \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 6 \sin(120°)$$ $$\sin(120°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$y = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$

#### الحل النهائي:

الإحداثيات الديكارتية: $(-3, 3\sqrt{3})$

---

✅ مثال 8: نصف قطر كسري

r = 2.5, θ = 45°

#### تطبيق القوانين:

حساب x: $$x = 2.5 \cos(45°) = 2.5 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2.5\sqrt{2}}{2} = 1.25\sqrt{2}$$ حساب y: $$y = 2.5 \sin(45°) = 2.5 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2.5\sqrt{2}}{2} = 1.25\sqrt{2}$$

#### الحل النهائي:

الإحداثيات الديكارتية: $(1.25\sqrt{2}, 1.25\sqrt{2})$

#### التقريب العشري:

$1.25\sqrt{2} ≈ 1.77$ النتيجة تقريباً: $(1.77, 1.77)$

---

✅ مثال 9: زاوية كبيرة (أكثر من 360°)

r = 4, θ = 450°

#### تبسيط الزاوية:

$450° = 450° - 360° = 90°$

#### تطبيق القوانين:

$$x = 4 \cos(90°) = 4 \times 0 = 0$$ $$y = 4 \sin(90°) = 4 \times 1 = 4$$

#### الحل النهائي:

الإحداثيات الديكارتية: $(0, 4)$

---

✅ مثال 10: نقطة الأصل

r = 0, θ = أي زاوية

#### تطبيق القوانين:

$$x = 0 \times \cos(\theta) = 0$$ $$y = 0 \times \sin(\theta) = 0$$

#### الحل النهائي:

الإحداثيات الديكارتية: $(0, 0)$ ملاحظة: عندما r = 0، الزاوية θ لا تؤثر على النتيجة.

---

✅ مثال 11: مسألة تطبيقية - الملاحة

سفينة تبعد 12 كيلومتر عن الميناء في اتجاه 30° شمال شرق. أوجد إحداثياتها إذا كان الميناء عند الأصل والمحور الموجب للـ x يشير شرقاً.

#### تحديد المتغيرات:

- r = 12 كم

- θ = 30° (من المحور الموجب للـ x)

#### الحل:

$$x = 12 \cos(30°) = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} ≈ 10.39 \text{ كم شرقاً}$$ $$y = 12 \sin(30°) = 12 \times \frac{1}{2} = 6 \text{ كم شمالاً}$$

#### الإجابة:

السفينة عند الإحداثيات (10.39 كم شرقاً، 6 كم شمالاً)

---

✅ مثال 12: مسألة فيزيائية - القوى

قوة مقدارها 50 نيوتن تؤثر بزاوية 60° مع المحور الأفقي. أوجد المركبتين الأفقية والعمودية للقوة.

#### تحديد المتغيرات:

- r = 50 نيوتن (مقدار القوة)

- θ = 60° (الزاوية مع الأفقي)

#### الحل:

المركبة الأفقية: $$F_x = 50 \cos(60°) = 50 \times \frac{1}{2} = 25 \text{ نيوتن}$$ المركبة العمودية: $$F_y = 50 \sin(60°) = 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3} ≈ 43.3 \text{ نيوتن}$$

#### الإجابة:

- القوة الأفقية: 25 نيوتن

- القوة العمودية: 43.3 نيوتن

---

✅ جدول الزوايا الخاصة

| الزاوية | cos θ | sin θ | الربع |

|------------|-----------|-----------|-----------|

| 0° | 1 | 0 | المحور +x |

| 30° | √3/2 | 1/2 | الأول |

| 45° | √2/2 | √2/2 | الأول |

| 60° | 1/2 | √3/2 | الأول |

| 90° | 0 | 1 | المحور +y |

| 120° | -1/2 | √3/2 | الثاني |

| 135° | -√2/2 | √2/2 | الثاني |

| 150° | -√3/2 | 1/2 | الثاني |

| 180° | -1 | 0 | المحور -x |

| 210° | -√3/2 | -1/2 | الثالث |

| 225° | -√2/2 | -√2/2 | الثالث |

| 240° | -1/2 | -√3/2 | الثالث |

| 270° | 0 | -1 | المحور -y |

| 300° | 1/2 | -√3/2 | الرابع |

| 315° | √2/2 | -√2/2 | الرابع |

| 330° | √3/2 | -1/2 | الرابع |

---

✅ خصائص مهمة للدوال المثلثية

$$\cos(-θ) = \cos(θ)$$ أمثلة:

- $\cos(-30°) = \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

- $\cos(-120°) = \cos(120°) = -\frac{1}{2}$

$$\sin(-θ) = -\sin(θ)$$ أمثلة:

- $\sin(-30°) = -\sin(30°) = -\frac{1}{2}$

- $\sin(-120°) = -\sin(120°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$$\cos(θ + 360°) = \cos(θ)$$ $$\sin(θ + 360°) = \sin(θ)$$

---

✅ حالات خاصة في التحويل

عندما r < 0، النقطة تكون في الاتجاه المعاكس للزاوية θ

- $(r, θ) = (-r, θ + 180°)$

- $θ + 360°$ تعطي نفس النقطة

- يمكن تبسيط الزاوية بطرح أو إضافة 360°

- المحور x: θ = 0°, 180°

- المحور y: θ = 90°, 270°

---

✅ نصائح مهمة للتحويل

1. 1. تحديد r و θ من الإحداثيات القطبية
2. 2. تطبيق القوانين: x = r cos θ, y = r sin θ
3. 3. حساب قيم cos θ و sin θ (استخدم الجدول أو الآلة الحاسبة)
4. 4. ضرب النتائج في r
5. 5. التحقق من منطقية النتيجة (أي ربع؟)

❌ الخلط بين الدرجات والراديان

❌ نسيان خصائص الدوال المثلثية

❌ عدم تبسيط الزوايا الكبيرة

• • الهندسة التحليلية - تحويل المعادلات
• • الفيزياء - تحليل القوى والحركة
• • الهندسة - حساب المسافات والزوايا
• • الملاحة - تحديد المواقع
• • الرسم البياني - رسم المعادلات القطبية

---

✅ الخلاصة

التحويل من القطبي إلى الديكارتي عملية أساسية تستخدم: القوانين الأساسية:

- $x = r \cos \theta$

- $y = r \sin \theta$

النقاط المهمة:

• • تحديد الربع من خلال إشارات x و y
• • استخدام خصائص الدوال المثلثية للزوايا السالبة
• • تبسيط الزوايا التي تزيد عن 360°
• • التعامل مع نصف القطر السالب

هذا التحويل ضروري في العديد من التطبيقات العلمية والعملية.