الأحداثيات القطبية إلى الديكارتية
الأهداف
- فهم الفرق بين الإحداثيات القطبية والديكارتية
- إتقان قوانين التحويل: x = r cos θ, y = r sin θ
- ربط المفهوم بدائرة الوحدة
- تطبيق التحويل على أمثلة متنوعة
- التعامل مع الحالات الخاصة (r سالب، زوايا سالبة)
في الرياضيات، لدينا طرق مختلفة لوصف موقع النقطة في المستوى. الإحداثيات الديكارتية تستخدم المسافات الأفقية والعمودية (x, y)، بينما الإحداثيات القطبية تستخدم المسافة من الأصل والزاوية (r, θ). كلا النظامين يصف نفس النقطة، لكن بطرق مختلفة. دعونا نتعلم كيفية التحويل بينهما!
الإحداثيات القطبية
r: المسافة من نقطة الأصل
θ: الزاوية من المحور الموجب
الرمز: (r, θ)
الإحداثيات الديكارتية
x: المسافة الأفقية
y: المسافة العمودية
الرمز: (x, y)
قوانين التحويل الأساسية
📐 القوانين الرياضية للتحويل
x = r × cos θ
y = r × sin θ
y = r × sin θ
🎯 مصور التحويل التفاعلي
r =
θ =
درجة
أدخل قيم r و θ لرؤية التحويل
هذا مشابه لدائرة الوحدة، لكن في دائرة الوحدة r = 1 دائماً
أمثلة تطبيقية
المثال الأول: r = 4, θ = π/6
📊 حل تفاعلي خطوة بخطوة
اتبع الخطوات لرؤية الحل الكامل
الحل التفصيلي:
📍 المعطيات: r = 4, θ = π/6 = 30°
🔸 حساب x: x = r cos θ = 4 × cos(π/6) = 4 × (√3/2) = 2√3 ≈ 3.46
🔸 حساب y: y = r sin θ = 4 × sin(π/6) = 4 × (1/2) = 2
✅ النتيجة: (x, y) = (2√3, 2) في الربع الأول
المثال الثاني: r = -6, θ = -120°
⚠️ حالة خاصة: r سالب وزاوية سالبة
تعامل مع الحالات الخاصة باستخدام خصائص الدوال المثلثية
الحل مع الحالات الخاصة:
📍 المعطيات: r = -6, θ = -120°
🔸 حساب x: x = (-6) × cos(-120°)
📘 cos دالة زوجية: cos(-120°) = cos(120°) = -1/2
➡️ إذن x: x = (-6) × (-1/2) = 3
🔸 حساب y: y = (-6) × sin(-120°)
📗 sin دالة فردية: sin(-120°) = -sin(120°) = -√3/2
➡️ إذن y: y = (-6) × (-√3/2) = 3√3 ≈ 5.20
✅ النتيجة: (x, y) = (3, 3√3) في الربع الأول
لاحظ كيف أن r السالب والزاوية السالبة أنتجا نقطة في الربع الأول!
خصائص الدوال المثلثية
📚 خصائص مهمة للتحويل
📐 الخصائص الأساسية:
cos دالة زوجية: cos(-θ) = cos(θ)
sin دالة فردية: sin(-θ) = -sin(θ)
🔍 استكشاف الخصائص
استكشف كيف تؤثر خصائص الدوال على التحويل
مختبر التحويل المتقدم
🧪 تجريب التحويلات المختلفة
🎪 استوديو التحويل الشامل
r =
θ =
درجة
جرب قيم مختلفة واستكشف النتائج
يمكن أن تكون قيمة r سالبة، وهذا يعني أن النقطة في الاتجاه المعاكس للزاوية
🎓 الخلاصة النهائية:
• قوانين التحويل: x = r cos θ, y = r sin θ
• الربط بدائرة الوحدة: نفس المبدأ لكن r يمكن أن يكون أي قيمة
• cos دالة زوجية: cos(-θ) = cos(θ)
• sin دالة فردية: sin(-θ) = -sin(θ)
• r السالب: يعكس اتجاه النقطة 180 درجة
• الزوايا السالبة: تُحسب في الاتجاه المعاكس لعقارب الساعة
• قوانين التحويل: x = r cos θ, y = r sin θ
• الربط بدائرة الوحدة: نفس المبدأ لكن r يمكن أن يكون أي قيمة
• cos دالة زوجية: cos(-θ) = cos(θ)
• sin دالة فردية: sin(-θ) = -sin(θ)
• r السالب: يعكس اتجاه النقطة 180 درجة
• الزوايا السالبة: تُحسب في الاتجاه المعاكس لعقارب الساعة
انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات
👨💻
جاري تحميل التعليقات...