الأعداد المركبة
الأهداف
- فهم المشكلة التاريخية مع الجذر التربيعي للسالب واحد
- تعريف العدد التخيلي i وخصائصه
- فهم مفهوم الأعداد المركبة a + bi
- التمثيل البصري للأعداد المركبة في المستوى المركب
- تطبيق العمليات الأساسية على الأعداد المركبة
الأعداد المركبة واحدة من أعظم الاكتشافات في تاريخ الرياضيات! لقرون طويلة، واجه العلماء مشكلة محيرة: ما هو الجذر التربيعي للسالب واحد؟ لا يوجد عدد حقيقي عند ضربه بنفسه يعطي عدداً سالباً. فكيف حُلت هذه المشكلة؟ الجواب: باختراع نوع جديد من الأعداد - الأعداد التخيلية والمركبة!
المشكلة التاريخية
❓ ما هو √(-1)؟
المشكلة: أي عدد نضربه بنفسه ليعطي -1؟
🔍 استكشاف المشكلة
استكشف ماذا يحدث عند تربيع الأعداد المختلفة
1 × 1 = 1
موجب
موجب
2 × 2 = 4
موجب
موجب
(-1) × (-1) = 1
موجب!
موجب!
(-2) × (-2) = 4
موجب!
موجب!
؟ × ؟ = -1
مستحيل!
مستحيل!
جميع الأعداد الحقيقية عند تربيعها تعطي نتيجة موجبة أو صفر، أبداً سالبة!
الحل الثوري: العدد التخيلي i
🎯 اختراع العدد التخيلي
الحل: لنخترع رمزاً جديداً i
نفرض أن: i² = -1
نفرض أن: i² = -1
i = √(-1)
i² = -1
i² = -1
⚡ قوى العدد التخيلي i
استكشف كيف تتكرر قوى العدد التخيلي i
i¹ = i
تخيلي
تخيلي
i² = -1
حقيقي سالب
حقيقي سالب
i³ = -i
تخيلي سالب
تخيلي سالب
i⁴ = 1
حقيقي موجب
حقيقي موجب
i⁵ = i
يتكرر النمط!
يتكرر النمط!
📚 ملاحظة تاريخية
الرمز i مأخوذ من كلمة "Imaginary" (تخيلي) لأن العلماء في البداية اعتقدوا أن هذه الأعداد "متخيلة" وليست حقيقية. لكن اتضح أنها مفيدة جداً في الفيزياء والهندسة!
الأعداد المركبة
🔗 الجمع بين الحقيقي والتخيلي
العدد المركب: z = a + bi
حيث a هو الجزء الحقيقي، b هو الجزء التخيلي
حيث a هو الجزء الحقيقي، b هو الجزء التخيلي
🎪 مولد الأعداد المركبة
a =
b =
i
جرب قيم مختلفة لترى كيف يتغير العدد المركب
🏗️ أنواع الأعداد المركبة:
إذا كان b = 0: z = a (عدد حقيقي فقط)
إذا كان a = 0: z = bi (عدد تخيلي بحت)
إذا كان a ≠ 0 و b ≠ 0: z = a + bi (عدد مركب)
المستوى المركب
📊 التمثيل البصري للأعداد المركبة
🗺️ مستكشف المستوى المركب
العدد المركب:
+
i
المحور الأفقي للأجزاء الحقيقية، المحور العمودي للأجزاء التخيلية
المستوى المركب يشبه نظام الإحداثيات الديكارتية، لكن المحور y يمثل الأجزاء التخيلية
العمليات الأساسية
جمع وطرح الأعداد المركبة
➕ آلة حاسبة الأعداد المركبة
العدد الأول:
+
i
العدد الثاني:
+
i
اختر عملية لرؤية الحل خطوة بخطوة
قواعد العمليات:
➕ الجمع: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
➖ الطرح: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
✖️ الضرب: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
مثال شامل: (2 + 3i) + (1 - 2i)
📝 حل خطوة بخطوة
اتبع الخطوات لرؤية الحل الكامل
🎓 الخلاصة النهائية:
• العدد التخيلي i: حل للمعادلة i² = -1
• العدد المركب: z = a + bi (a حقيقي، b تخيلي)
• قوى i: تتكرر كل 4 قوى (i, -1, -i, 1)
• المستوى المركب: المحور الأفقي للحقيقي، العمودي للتخيلي
• العمليات: نجمع/نطرح الأجزاء الحقيقية والتخيلية منفصلة
• الأهمية: مفيدة جداً في الفيزياء والهندسة والرياضيات المتقدمة
• العدد التخيلي i: حل للمعادلة i² = -1
• العدد المركب: z = a + bi (a حقيقي، b تخيلي)
• قوى i: تتكرر كل 4 قوى (i, -1, -i, 1)
• المستوى المركب: المحور الأفقي للحقيقي، العمودي للتخيلي
• العمليات: نجمع/نطرح الأجزاء الحقيقية والتخيلية منفصلة
• الأهمية: مفيدة جداً في الفيزياء والهندسة والرياضيات المتقدمة
انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات
👨💻
جاري تحميل التعليقات...