الاحتمال المشروط

الاحتمال المشروط - نمط التصميم النظيف الأزرق الاحتمال المشروط - نمط التصميم النظيف الأزرق

ما هو الاحتمال المشروط؟

الاحتمال المشروط هو احتمال وقوع حدث معين
بشرط علمنا المسبق بوقوع حدث آخر

نقرأ الرمز كالتالي:

P(B|A)

"احتمال حدوث B إذا علمنا أن الحادثة A وقعت"

القانون الأساسي للاحتمال المشروط

القانون:

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}
حيث:
P(A \cap B) = احتمالية تقاطع الحدثين (حدوثهما معاً)
P(A) = احتمالية الحدث المعلوم
P(A) \neq 0 = الحدث A يجب أن يكون ممكن الحدوث

شروط مهمة للاحتمال المشروط

يجب توفر الشروط التالية:

  • ✅ الحدثان مرتبطان: يجب أن يكونا غير مستقلين
  • ✅ الحدث المعلوم ممكن: P(A) > 0
  • ✅ تأثير واضح: حدوث A يؤثر على احتمالية B
  • ✅ تقاطع موجود: P(A \cap B) > 0

المثال التوضيحي: الكرات الملونة

مثال: وعاء يحتوي على 4 كرات

محتويات الوعاء:

أصفر
صغيرة
أخضر
صغيرة
أحمر
كبيرة
أزرق
كبيرة

أولاً: الاحتمال العادي (غير المشروط)

السؤال: ما احتمالية سحب الكرة الزرقاء؟
P(\text{زرقاء}) = \frac{1}{4} = 0.25

لأن لدينا كرة زرقاء واحدة من أصل 4 كرات

ثانياً: الاحتمال المشروط

السؤال: ما احتمالية سحب الكرة الزرقاء علماً بأن الكرة كبيرة؟

الحل بالطريقة المنطقية:

بما أن الكرة كبيرة، فلدينا خيارين فقط: الحمراء أو الزرقاء

P(\text{زرقاء}|\text{كبيرة}) = \frac{1}{2} = 0.5
الحل بتطبيق القانون:

الخطوة 1: حساب التقاطع

P(\text{كبيرة} \cap \text{زرقاء}) = \frac{1}{4}

لأن هناك كرة واحدة فقط كبيرة وزرقاء

الخطوة 2: حساب احتمالية الحدث المعلوم

P(\text{كبيرة}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

لأن لدينا كرتين كبيرتين من أصل 4

الخطوة 3: تطبيق القانون

P(\text{زرقاء}|\text{كبيرة}) = \frac{P(\text{كبيرة} \cap \text{زرقاء})}{P(\text{كبيرة})} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}
النتيجة: الاحتمالية ارتفعت من ¼ إلى ½ بسبب المعلومة الإضافية!

أمثلة محلولة متنوعة

المثال الأول: أوراق اللعب

المسألة: من مجموعة أوراق اللعب المعتادة (52 ورقة)، ما احتمالية أن تكون الورقة ملكاً علماً بأنها ورقة وجه؟

تحديد الأحداث
A = الورقة وجه (ملك، ملكة، أمير)
B = الورقة ملك
المطلوب: P(B|A)
حساب التقاطع
P(A \cap B) = P(\text{ملك}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}

لأن الملك هو جزء من أوراق الوجه

حساب احتمالية الحدث المعلوم
P(A) = P(\text{وجه}) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}

لأن هناك 12 ورقة وجه (4 ملوك + 4 ملكات + 4 أمراء)

تطبيق القانون
P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{13}}{\frac{3}{13}} = \frac{1}{3}
الجواب: P(\text{ملك}|\text{وجه}) = \frac{1}{3} \approx 0.333 = 33.3\%
المثال الثاني: الطلاب والدرجات

المسألة: في فصل دراسي، 60% من الطلاب يدرسون الرياضيات، 40% يدرسون الفيزياء، و25% يدرسون المادتين. إذا اختير طالب عشوائياً ووجد أنه يدرس الرياضيات، ما احتمالية أن يدرس الفيزياء أيضاً؟

تحديد المعطيات
M = يدرس الرياضيات، P(M) = 0.6
F = يدرس الفيزياء، P(F) = 0.4
P(M \cap F) = 0.25
المطلوب: P(F|M)
تطبيق القانون
P(F|M) = \frac{P(M \cap F)}{P(M)} = \frac{0.25}{0.6} = \frac{25}{60} = \frac{5}{12}
الجواب: P(F|M) = \frac{5}{12} \approx 0.417 = 41.7\%
المثال الثالث: المرض والفحص

المسألة: مرض نادر يصيب 1% من السكان. فحص طبي دقته 95% للحالات المريضة و90% للحالات السليمة. إذا كانت نتيجة الفحص إيجابية، ما احتمالية أن يكون الشخص مريضاً فعلاً؟

تحديد المعطيات
D = مريض، P(D) = 0.01، P(D^c) = 0.99
T+ = فحص إيجابي
P(T+|D) = 0.95 (حساسية الفحص)
P(T-|D^c) = 0.90 → P(T+|D^c) = 0.10
حساب احتمالية الفحص الإيجابي (القانون الكلي)
P(T+) = P(T+|D) \cdot P(D) + P(T+|D^c) \cdot P(D^c)
P(T+) = 0.95 \times 0.01 + 0.10 \times 0.99 = 0.0095 + 0.099 = 0.1085
تطبيق قانون بايز
P(D|T+) = \frac{P(T+|D) \cdot P(D)}{P(T+)} = \frac{0.95 \times 0.01}{0.1085} = \frac{0.0095}{0.1085} \approx 0.0876
الجواب: P(D|T+) \approx 0.088 = 8.8\% فقط!

📊 ملاحظة مهمة:

رغم أن الفحص دقيق، الاحتمالية منخفضة بسبب ندرة المرض!

المثال الرابع: النرد المتتالي

المسألة: نرمي نردين متتاليين. ما احتمالية أن يكون مجموع النردين 8 علماً بأن النرد الأول أظهر رقماً أكبر من 3؟

تحديد الأحداث
A = النرد الأول > 3 (أي 4، 5، أو 6)
B = مجموع النردين = 8
المطلوب: P(B|A)
حساب P(A)
النرد الأول يمكن أن يكون 4، 5، أو 6
P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
حساب P(A \cap B)
الحالات التي مجموعها 8 والنرد الأول > 3:
(4,4)، (5,3)، (6,2)
P(A \cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}
تطبيق القانون
P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{6}
الجواب: P(B|A) = \frac{1}{6} \approx 0.167 = 16.7\%
المثال الخامس: الطلاب والنجاح

المسألة: في جامعة، 70% من الطلاب يحضرون المحاضرات بانتظام. من الطلاب المنتظمين، 85% ينجحون في الامتحان. من الطلاب غير المنتظمين، 40% ينجحون. إذا اختير طالب عشوائياً ووجد أنه نجح، ما احتمالية أن يكون منتظماً؟

تحديد المعطيات
R = منتظم، P(R) = 0.7، P(R^c) = 0.3
S = نجح
P(S|R) = 0.85، P(S|R^c) = 0.40
حساب P(S) بالقانون الكلي
P(S) = P(S|R) \cdot P(R) + P(S|R^c) \cdot P(R^c)
P(S) = 0.85 \times 0.7 + 0.40 \times 0.3 = 0.595 + 0.12 = 0.715
تطبيق قانون بايز
P(R|S) = \frac{P(S|R) \cdot P(R)}{P(S)} = \frac{0.85 \times 0.7}{0.715} = \frac{0.595}{0.715} \approx 0.832
الجواب: P(R|S) \approx 0.832 = 83.2\%
المثال السادس: الإنتاج والجودة

المسألة: مصنع يحتوي على 3 خطوط إنتاج. الخط الأول ينتج 50% من المنتجات، الثاني 30%، والثالث 20%. نسب المنتجات المعيبة: 2% من الأول، 3% من الثاني، 5% من الثالث. إذا وجدت منتج معيب، ما احتمالية أن يكون من الخط الثاني؟

تحديد المعطيات
L_1, L_2, L_3 = الخطوط الثلاثة
P(L_1) = 0.5، P(L_2) = 0.3، P(L_3) = 0.2
D = معيب
P(D|L_1) = 0.02، P(D|L_2) = 0.03، P(D|L_3) = 0.05
حساب P(D) بالقانون الكلي
P(D) = \sum_{i=1}^{3} P(D|L_i) \cdot P(L_i)
P(D) = 0.02 \times 0.5 + 0.03 \times 0.3 + 0.05 \times 0.2
P(D) = 0.01 + 0.009 + 0.01 = 0.029
تطبيق قانون بايز للخط الثاني
P(L_2|D) = \frac{P(D|L_2) \cdot P(L_2)}{P(D)} = \frac{0.03 \times 0.3}{0.029} = \frac{0.009}{0.029} \approx 0.310
الجواب: P(L_2|D) \approx 0.310 = 31.0\%

حاسبة الاحتمال المشروط

احسب الاحتمال المشروط بنفسك!

أدخل القيم واضغط "احسب P(B|A)" لرؤية النتيجة

ملخص القوانين المهمة

القانون الصيغة الاستخدام
الاحتمال المشروط الأساسي P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} حساب احتمالية B بشرط A
قانون الضرب P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A) حساب احتمالية التقاطع
قانون الاحتمال الكلي P(B) = \sum P(B|A_i) \cdot P(A_i) حساب احتمالية حدث بعدة طرق
قانون بايز P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} عكس الاحتمال المشروط
الأحداث المستقلة P(B|A) = P(B) عندما لا يؤثر A على B

نصائح للحل

✅ خطوات الحل

  • حدد الأحداث بوضوح
  • ارسم مخططاً إذا أمكن
  • احسب التقاطع أولاً
  • تأكد من P(A) ≠ 0

⚠️ انتبه لهذه النقاط

  • اقرأ "علماً بأن" بعناية
  • لا تخلط P(B|A) مع P(A|B)
  • تأكد من وحدة القياس
  • استخدم الرسم للتوضيح

❌ أخطاء شائعة

  • عكس الترتيب في الاحتمال
  • نسيان شرط P(A) > 0
  • خلط الأحداث المستقلة والمرتبطة
  • أخطاء في قانون بايز

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
42
الدرس التالي
ثالث ثانويالفصل الثالث
جاري تحميل التعليقات...