الاحتمال المشروط من زاوية مختلفة

الاحتمال المشروط وتطبيقاته الاحتمال المشروط وتطبيقاته

الاحتمال المشروط وتطبيقاته

أهداف الدرس

  • فهم مفهوم الاحتمال المشروط والقانون الأساسي
  • تطبيق قانون الاحتمال المشروط في مسائل عملية
  • فهم تأثير ندرة الأحداث على النتائج
  • حل مسائل طبية وتقنية باستخدام قانون بايز

مقدمة

الاحتمال المشروط هو احتمالية حدوث حدث معين بشرط حدوث حدث آخر. هذا المفهوم أساسي في الإحصاء ويستخدم في الطب، الهندسة، الاقتصاد، والذكاء الاصطناعي.

مثال بسيط: ما احتمالية أن تمطر السماء إذا كانت السماء غائمة؟ هذا مختلف عن احتمالية المطر بشكل عام.

1قانون الاحتمال المشروط

احتمالية حدوث الحدث B بشرط حدوث الحدث A

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

حيث P(A) > 0

توضيح القانون بصرياً

التمثيل البصري للاحتمال المشروط

المجموعة A
المجموعة B
التقاطع A ∩ B

2قانون بايز

لعكس اتجاه الاحتمال المشروط

P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}

المثال التفاعلي: الكرات الملونة

صندوق يحتوي على كرات مختلفة الأحجام والألوان

2
2

التوضيح التفاعلي

السؤال: ما احتمالية أن تكون الكرة زرقاء إذا علمنا أنها كبيرة؟

ملاحظة مهمة: تأثير ندرة الأحداث

كلما قل عدد الكرات الكبيرة (الحدث المعلوم أصبح أصعب)، زادت احتمالية أن تكون الكرة المختارة زرقاء عند معرفة أنها كبيرة. هذا مبدأ أساسي في الاحتمال المشروط!

مثال متقدم: التشخيص الطبي

محاكاة تشخيص طبي

أمثلة محلولة
المرض النادر
1.
مرض نادر يصيب 1% من السكان. فحص طبي دقيقته 95%. شخص نتيجة فحصه إيجابية. ما احتمالية إصابته بالمرض؟
الحل:
المعطيات:
• P(مرض) = 0.01
• P(إيجابي|مرض) = 0.95
• P(إيجابي|سليم) = 0.05

حساب P(إيجابي):
P(إيجابي) = 0.95 × 0.01 + 0.05 × 0.99 = 0.059

تطبيق قانون بايز:
P(\text{مرض}|\text{إيجابي}) = \frac{0.95 \times 0.01}{0.059} = 0.161
النتيجة: فقط 16.1% احتمالية الإصابة!
العملات المزيفة
2.
صندوق يحتوي على 3 عملات: عادية، مزيفة (وجهان صورة)، مزيفة (وجهان كتابة). رميت عملة وظهرت صورة. ما احتمالية أن تكون العملة عادية؟
الحل:
المعطيات:
• P(عادية) = P(صورة-صورة) = P(كتابة-كتابة) = 1/3
• P(صورة|عادية) = 1/2
• P(صورة|صورة-صورة) = 1
• P(صورة|كتابة-كتابة) = 0

حساب P(صورة):
P(صورة) = 1/2 × 1/3 + 1 × 1/3 + 0 × 1/3 = 1/2

تطبيق قانون بايز:
P(\text{عادية}|\text{صورة}) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}
النتيجة: 33.3% احتمالية أن تكون عادية
نظام الإنذار
3.
نظام إنذار حريق بدقة 99%. احتمالية الحريق يومياً 0.1%. إذا رن الإنذار، ما احتمالية وجود حريق؟
الحل:
المعطيات:
• P(حريق) = 0.001
• P(إنذار|حريق) = 0.99
• P(إنذار|لا حريق) = 0.01

حساب P(إنذار):
P(إنذار) = 0.99 × 0.001 + 0.01 × 0.999 = 0.01098

تطبيق قانون بايز:
P(\text{حريق}|\text{إنذار}) = \frac{0.99 \times 0.001}{0.01098} = 0.09
النتيجة: فقط 9% احتمالية وجود حريق فعلي!

الخلاصة والمبادئ المهمة

المبدأ الذهبي

كلما كان الحدث المعلوم أصعب (احتمالية أقل)، كلما أعطانا معلومات أقوى عن الأحداث الأخرى.

تطبيقات مهمة:
  • الطب: تفسير نتائج الفحوصات الطبية
  • الأمان: أنظمة الإنذار والكشف
  • التقنية: الذكاء الاصطناعي والتعلم الآلي
  • الاقتصاد: تحليل المخاطر والاستثمار

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
42
الدرس التالي
ثالث ثانويالفصل الثالث
جاري تحميل التعليقات...
الاحتمال المشروط من زاوية مختلفة | أكاديمية موسى