التوزيع الطبيعي مثال علمي

التوزيع الطبيعي وتطبيقاته العملية التوزيع الطبيعي وتطبيقاته العملية

التوزيع الطبيعي وتطبيقاته العملية

أهداف الدرس

  • فهم خصائص التوزيع الطبيعي ومعادلته
  • تطبيق قاعدة 68-95-99.7 في التصميم الهندسي
  • حل مسائل عملية لتصميم المنتجات
  • تحليل البيانات الحقيقية باستخدام التوزيع الطبيعي

مقدمة

التوزيع الطبيعي هو أهم التوزيعات الإحصائية في الطبيعة والتطبيقات العملية. يظهر في أطوال الناس، درجات الحرارة، استهلاك الطاقة، وحتى استخدام الهواتف الذكية!

مثال عملي: إذا قسنا استخدام الجوال لفئة معينة من الناس، سنجد أن أغلبهم يستخدمونه حول المتوسط، وقلة قليلة تستخدمه لفترات قصيرة جداً أو طويلة جداً.

1معادلة التوزيع الطبيعي

دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع الطبيعي

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}

حيث μ = المتوسط، σ = الانحراف المعياري

التمثيل التفاعلي للتوزيع الطبيعي

5.0
1.0

التوزيع الطبيعي التفاعلي

منحنى التوزيع الطبيعي
68% (±1σ)
95% (±2σ)
99.7% (±3σ)

2قاعدة 68-95-99.7

النسب المئوية للبيانات ضمن انحرافات معيارية محددة

68% ضمن μ ± 1σ
95% ضمن μ ± 2σ
99.7% ضمن μ ± 3σ

مثال عملي: تصميم بطارية الجوال

المشكلة: نريد تصميم بطارية جوال تخدم 95% من المستخدمين

بيانات استخدام الجوال

لماذا نستخدم 2σ للتصميم؟

باستخدام μ + 2σ = 5 + 2(1) = 7 ساعات، نضمن أن البطارية ستخدم 95% من المستخدمين. هذا يعني أن 5% فقط سيحتاجون شحن إضافي، وهي نسبة مقبولة تجارياً.

تطبيقات أخرى للتوزيع الطبيعي

أمثلة من مجالات مختلفة

أمثلة محلولة
تصميم مصعد
1.
أوزان الأشخاص في مبنى تتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط 70 كيلو وانحراف معياري 10 كيلو. نريد تصميم مصعد يحمل 8 أشخاص بأمان في 95% من الحالات. ما هو الحد الأقصى للوزن؟
الحل:
المعطيات:
• μ = 70 كيلو
• σ = 10 كيلو
• عدد الأشخاص = 8

للحصول على 95% أمان، نستخدم μ + 2σ:
الوزن الأقصى للشخص = 70 + 2(10) = 90 كيلو

إجمالي الوزن للمصعد:
8 × 90 = 720 كيلو

النتيجة: يجب تصميم المصعد لحمل 720 كيلو على الأقل
مراقبة جودة المنتج
2.
مصنع ينتج قطع معدنية بطول متوسط 50 سم وانحراف معياري 2 سم. ما نسبة القطع التي ستكون بين 46 و 54 سم؟
الحل:
المعطيات:
• μ = 50 سم
• σ = 2 سم
• النطاق: 46 - 54 سم

تحويل إلى انحرافات معيارية:
الحد الأدنى: (46 - 50) ÷ 2 = -2σ
الحد الأعلى: (54 - 50) ÷ 2 = +2σ

تطبيق قاعدة 68-95-99.7:
النطاق μ ± 2σ يحتوي على 95% من البيانات

النتيجة: 95% من القطع ستكون بين 46 و 54 سم
تخطيط شبكة الإنترنت
3.
استهلاك البيانات اليومي للمستخدمين يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط 2 جيجابايت وانحراف معياري 0.5 جيجابايت. نريد تصميم باقة تكفي 99.7% من المستخدمين. ما حجم الباقة؟
الحل:
المعطيات:
• μ = 2 جيجابايت
• σ = 0.5 جيجابايت
• التغطية المطلوبة: 99.7%

للحصول على 99.7% تغطية، نستخدم μ + 3σ:
حجم الباقة = 2 + 3(0.5) = 3.5 جيجابايت

التحقق:
النطاق μ ± 3σ = من -0.5 إلى 3.5 جيجابايت
(نأخذ القيمة الموجبة فقط)

النتيجة: باقة 3.5 جيجابايت ستكفي 99.7% من المستخدمين

الخلاصة والمبادئ المهمة

قوة التوزيع الطبيعي في التصميم

بمعرفة المتوسط والانحراف المعياري فقط، يمكننا تصميم منتجات تخدم نسبة محددة من المستخدمين بدقة عالية.

نصائح عملية للمهندسين:
  • استخدم μ + 2σ لتغطية 95% من الحالات (شائع في التصميم)
  • استخدم μ + 3σ للتطبيقات عالية الأمان (99.7% تغطية)
  • اجمع بيانات كافية للتأكد من أن البيانات تتبع التوزيع الطبيعي
  • فكر في التكلفة مقابل الفائدة عند اختيار مستوى التغطية

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
30
الدرس التالي
ثالث ثانويالفصل الثالث
جاري تحميل التعليقات...