المستوى الأحداثي والمستوى القطبي

المستوى الإحداثي والمستوى القطبي المستوى الإحداثي والمستوى القطبي

المستوى الإحداثي والمستوى القطبي

أهداف الدرس

  • فهم الفرق بين المستوى الإحداثي والمستوى القطبي
  • تعلم كيفية تحديد النقاط في كل نظام إحداثي
  • التحويل بين الأنظمة الإحداثية المختلفة
  • معرفة متى نستخدم كل نظام حسب طبيعة المسألة

مقدمة

الأنظمة الإحداثية هي طرق مختلفة لتحديد موقع النقاط في الفراغ. كل نظام له مزاياه الخاصة ويكون أكثر ملاءمة لأنواع معينة من المسائل الرياضية والفيزيائية.

المبدأ الأساسي: أي نظام إحداثي يحتاج إلى نقطة مرجعية وطريقة ثابتة لتحديد موقع أي نقطة نسبة لهذا المرجع.

1المستوى الإحداثي (الديكارتي)

تحديد موقع النقطة باستخدام المسافات الأفقية والعمودية

النقطة = (x, y)
x = البعد الأفقي
y = البعد العمودي

2المستوى القطبي

تحديد موقع النقطة باستخدام المسافة المباشرة والزاوية

النقطة = (r, θ)
r = المسافة من القطب
θ = الزاوية من المحور القطبي

المقارنة التفاعلية بين المستويين

3.0
4.0

مقارنة الأنظمة الإحداثية

تمثيل نفس النقطة في النظامين

النظام الإحداثي
(3.0, 4.0)
النظام القطبي
(5.0, 53.1°)

3معادلات التحويل

من إحداثي إلى قطبي

r = \sqrt{x^2 + y^2}
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)

من قطبي إلى إحداثي

x = r \cos \theta
y = r \sin \theta

مقارنة معادلات الدائرة

معادلة الدائرة في النظامين

أيهما أبسط؟

للدائرة المركزها الأصل: النظام القطبي أبسط بكثير (r = ثابت)

للدائرة المركزها خارج الأصل: النظام الإحداثي أبسط

للأشكال الحلزونية والدوارة: النظام القطبي أنسب

أمثلة متقدمة للمعادلات

مقارنة معادلات مختلفة

أمثلة محلولة
تحويل من إحداثي إلى قطبي
1.
حول النقطة (3, 4) من النظام الإحداثي إلى النظام القطبي.
الحل:
المعطيات:
• x = 3، y = 4

حساب المسافة r:
r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5


حساب الزاوية θ:
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) = 53.13°


النتيجة:
النقطة في النظام القطبي: (5, 53.13°)
مقارنة معادلة الدائرة
2.
قارن بين معادلة دائرة مركزها الأصل ونصف قطرها 3 في النظامين الإحداثي والقطبي.
الحل:
في النظام الإحداثي:
المعادلة العامة للدائرة:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

حيث (h, k) هو مركز الدائرة

بما أن المركز هو الأصل (0, 0):
x^2 + y^2 = 3^2 = 9


في النظام القطبي:
r = 3


المقارنة:
النظام القطبي أبسط بكثير للدوائر المركزها الأصل!
تحويل معادلة قطبية معقدة
3.
حول المعادلة القطبية r = cos θ إلى النظام الإحداثي.
الحل:
المعطيات:
• المعادلة القطبية: r = cos θ

استخدام معادلات التحويل:
• r = \sqrt{x^2 + y^2}
• \cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}

التعويض:
\sqrt{x^2 + y^2} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}


ضرب الطرفين في \sqrt{x^2 + y^2}:
x^2 + y^2 = x


إعادة الترتيب:
x^2 - x + y^2 = 0

(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{1}{4}


النتيجة:
دائرة مركزها (\frac{1}{2}, 0) ونصف قطرها \frac{1}{2}

الخلاصة: متى نستخدم كل نظام؟

استخدم النظام الإحداثي عندما:

• المسألة تتعلق بالخطوط المستقيمة والمربعات

• الدوائر والأشكال مركزها خارج الأصل

• العمليات الجبرية البسيطة

استخدم النظام القطبي عندما:
  • المسألة تتعلق بالدوران والزوايا
  • الدوائر والأشكال مركزها الأصل
  • الأشكال الحلزونية والدوارة
  • تحليل الموجات والاهتزازات

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
27
ثالث ثانويالفصل الثالث
جاري تحميل التعليقات...