نظرية ديموافر
الأهداف
- فهم نظرية ديموافر لرفع الأعداد المركبة للأسس
- تطبيق القانون: [r(cos θ + i sin θ)]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
- فهم كيفية تكرار الزوايا وتجميعها
- التعامل مع تقليل الزوايا الكبيرة
- حل أمثلة تطبيقية متنوعة
في الدرس السابق تعلمنا ضرب الأعداد المركبة - نضرب القيم المطلقة ونجمع الزوايا. لكن ماذا لو أردنا رفع عدد مركب للأس الثاني أو الثالث أو حتى الخامس عشر؟ نظرية ديموافر تعطينا طريقة أنيقة وسريعة لحل هذه المسائل. بدلاً من الضرب المتكرر، نستخدم قانوناً بسيطاً يوفر علينا الكثير من الوقت والجهد!
من الضرب إلى الأسس
🔁 من الضرب المتكرر إلى القانون العام
📈 تطور القوى خطوة بخطوة
شاهد كيف تتطور القوى من الضرب المتكرر إلى النمط العام
z¹
r(cos θ + i sin θ)
الأصلz²
r²(cos 2θ + i sin 2θ)
z × zz³
r³(cos 3θ + i sin 3θ)
z² × zzⁿ
rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
النمط العام
لاحظ النمط: القيمة المطلقة ترفع للأس n، والزاوية تضرب في n
نظرية ديموافر
🎯 نظرية ديموافر الكاملة
[r(cos θ + i sin θ)]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
🧮 مكونات النظرية:
rⁿ: القيمة المطلقة ترفع للأس n
nθ: الزاوية تضرب في n
cos nθ + i sin nθ: الصورة المثلثية الجديدة
🎪 مختبر نظرية ديموافر
r =
θ =
°
n =
أدخل القيم وشاهد تطبيق نظرية ديموافر
المثال التطبيقي الشامل
المثال: [7(cos 30° + i sin 30°)]¹⁵
📊 حل المثال خطوة بخطوة
اتبع الخطوات لرؤية الحل الكامل للمثال
الحل التفصيلي:
📍 المعطى: [7(cos 30° + i sin 30°)]¹⁵
📐 تطبيق ديموافر: 7¹⁵(cos(15×30°) + i sin(15×30°))
🧮 حساب الزاوية: 15 × 30° = 450°
🔄 تقليل الزاوية: 450° = 360° + 90° ≡ 90°
📊 القيم المثلثية: cos 90° = 0, sin 90° = 1
✅ النتيجة: 7¹⁵(0 + i×1) = 7¹⁵i
🔄 تقليل الزوايا الكبيرة:
450° = 360° + 90°
عندما تزيد الزاوية عن 360°، نطرح مضاعفات 360° للحصول على الزاوية المكافئة
أمثلة متنوعة
🎲 تمارين تفاعلية متنوعة
🎯 حلال المسائل التلقائي
اختر مثالاً لحله باستخدام نظرية ديموافر
نظرية ديموافر تعمل مع أي أس صحيح موجب، وحتى مع الأسس السالبة والكسرية!
التطبيقات والفوائد
🌟 لماذا نظرية ديموافر مهمة؟
⚡ مقارنة السرعة: الضرب المتكرر vs ديموافر
شاهد الفرق في السرعة والسهولة بين الطريقتين
🚀 فوائد نظرية ديموافر:
السرعة: حساب مباشر بدلاً من الضرب المتكرر
الدقة: تجنب أخطاء الحساب المتراكمة
الأناقة: قانون بسيط وواضح
التطبيقات: مفيدة في الفيزياء والهندسة
🎓 الخلاصة النهائية:
• نظرية ديموافر: [r(cos θ + i sin θ)]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
• القيمة المطلقة: ترفع للأس n (rⁿ)
• الزاوية: تضرب في n (nθ)
• تقليل الزوايا: نطرح مضاعفات 360° للزوايا الكبيرة
• الفائدة: طريقة سريعة ودقيقة لحساب أسس الأعداد المركبة
• التطبيقات: مفيدة في الفيزياء وتحليل الدوائر الكهربائية والذبذبات
• نظرية ديموافر: [r(cos θ + i sin θ)]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
• القيمة المطلقة: ترفع للأس n (rⁿ)
• الزاوية: تضرب في n (nθ)
• تقليل الزوايا: نطرح مضاعفات 360° للزوايا الكبيرة
• الفائدة: طريقة سريعة ودقيقة لحساب أسس الأعداد المركبة
• التطبيقات: مفيدة في الفيزياء وتحليل الدوائر الكهربائية والذبذبات
انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات
👨💻
جاري تحميل التعليقات...