نظرية ديموافر

1

مراجعة: ضرب الأعداد المركبة

ما تعلمناه سابقاً

✅قاعدة ضرب الأعداد المركبة

عند ضرب عددين مركبين في الصورة القطبية:
• نضرب القيم المطلقة في بعض
• نجمع الزوايا مع بعض

✅الصيغة العامة

r_1(\cos θ_1 + i\sin θ_1) × r_2(\cos θ_2 + i\sin θ_2) = r_1r_2(\cos(θ_1 + θ_2) + i\sin(θ_1 + θ_2))
2

اكتشاف نمط الأسس

تجربة الأسس المختلفة

✅التربيع (الأس 2)

عندما نريد تربيع العدد المركب = نضرب العدد في نفسه
[r(\cos θ + i\sin θ)]^2 = r^2(\cos 2θ + i\sin 2θ)
القيمة المطلقة تتربع • الزاوية تتضاعف

✅التكعيب (الأس 3)

[r(\cos θ + i\sin θ)]^3 = r^3(\cos 3θ + i\sin 3θ)

✅الأس الرابع

[r(\cos θ + i\sin θ)]^4 = r^4(\cos 4θ + i\sin 4θ)
نمط واضح: القيمة المطلقة ترفع للأس المطلوب • الزاوية تضرب في الأس
3

نظرية ديموافر

De Moivre's Theorem

✅النظرية

عمم ديموافر هذا النمط لأي أس صحيح n

✅الصيغة العامة

[r(\cos θ + i\sin θ)]^n = r^n(\cos nθ + i\sin nθ)

✅خطوات التطبيق

1. ارفع القيمة المطلقة r للأس n
2. اضرب الزاوية θ في الأس n
3. احسب cos(nθ) و sin(nθ)
4

مثال تطبيقي

حل مثال شامل

✅المطلوب

احسب: [7(\cos 30° + i\sin 30°)]^{15}

✅تطبيق نظرية ديموافر

القيمة المطلقة: r^n = 7^{15}
الزاوية الجديدة: nθ = 15 × 30° = 450°

✅تبسيط الزاوية

450° = 360° + 90°
إذن الزاوية المكافئة = 90°
موقع العدد: على المحور التخيلي الموجب

✅حساب القيم المثلثية

\cos 90° = 0
\sin 90° = 1
النتيجة النهائية: 7^{15} \cdot i
5

نقاط مهمة

ملاحظات أساسية

✅تبسيط الزوايا

• دائماً اطرح مضاعفات 360° للحصول على الزاوية المكافئة
• استخدم الزاوية المكافئة لحساب القيم المثلثية

✅فائدة النظرية

• تبسط حساب الأسس العالية للأعداد المركبة
• أسرع من ضرب العدد في نفسه عدة مرات
• مفيدة في الهندسة وعلوم الحاسوب
الدرس السابق
3
الدرس التالي
ثالث ثانويالفصل الثالث
جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

نظرية ديموافر في الدرس السابق تعلمنا كيفية ضرب عددين مركبين مكتوبين بالصورة القطبية. وقلنا إن عملية الضرب تتم وفق القاعدتين الآتيتين: - نضرب القيم المطلقة… هذا الدرس ضمن الفصل الثالث لمنهج الثانوية ثالث ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

نظرية ديموافر

الثانوية

المستوى الأحداثي والمستوى القطبي

الثانوية

الأحداثيات القطبية إلى الديكارتية

الثانوية

تفسير التكامل باللهجة العامية

الثانوية

الوسيط

الثانوية