حساب الضرب الداخلي والزاوية بين متجهين

اختبر فهمك

اختبار: حساب الضرب الداخلي والزاوية بين متجهين

1
ما هي نتيجة الضرب الداخلي بين متجهين؟

أسئلة متوقعة

تمارين محلولة: حساب الضرب الداخلي والزاوية بين متجهين

أمثلة عملية على حساب الضرب الداخلي وإيجاد الزوايا

1

حساب الضرب الداخلي بين متجهين

السؤال:

لديك متجهان في المستوى الإحداثي:
المتجه الأول: A = ⟨5, 2⟩
المتجه الثاني: B = ⟨3, -4⟩

المطلوب: احسب الضرب الداخلي A · B

رسم المتجهات على المستوى الإحداثي

x y O A⟨5, 2⟩ B⟨3, -4⟩

الحل:

الخطوة 1: تحديد المعطيات

• المتجه الأول: A = ⟨5, 2⟩
• المتجه الثاني: B = ⟨3, -4⟩
• المطلوب: A · B = ?

الخطوة 2: تطبيق قاعدة الضرب الداخلي

القاعدة:
⟨x₁, y₁⟩ · ⟨x₂, y₂⟩ = (x₁ × x₂) + (y₁ × y₂)

الخطوة 3: التعويض في القانون

A · B = (5 × 3) + (2 × -4)
A · B = 15 + (-8)
A · B = 7

الإجابة النهائية: A · B = 7

2

حساب أطوال متجهات

السؤال:

لديك ثلاثة متجهات في الصورة الإحداثية (تبدأ من نقطة الأصل):
A = ⟨6, 8⟩
B = ⟨5, 12⟩
C = ⟨-3, 4⟩

المطلوب: احسب طول كل متجه

الحل:

القانون المستخدم:

|⟨x, y⟩| = √(x² + y²)

حساب |A|:

|A| = √(6² + 8²)
|A| = √(36 + 64)
|A| = √100
|A| = 10

حساب |B|:

|B| = √(5² + 12²)
|B| = √(25 + 144)
|B| = √169
|B| = 13

حساب |C|:

|C| = √((-3)² + 4²)
|C| = √(9 + 16)
|C| = √25
|C| = 5

الإجابات: |A| = 10, |B| = 13, |C| = 5

3

إيجاد الزاوية بين متجهين (مثال كامل)

السؤال:

لديك متجهان:
A = ⟨4, 3⟩
B = ⟨1, 2⟩

المطلوب: أوجد الزاوية θ بين المتجهين (بالدرجات)

رسم المتجهات والزاوية بينهما

x y O A⟨4, 3⟩ B⟨1, 2⟩ θ

الحل:

القانون المستخدم:

cos θ = (A · B) / (|A| × |B|)

الخطوة 1: حساب الضرب الداخلي A · B

A · B = (4 × 1) + (3 × 2)
A · B = 4 + 6
A · B = 10

الخطوة 2: حساب طول المتجه A

|A| = √(4² + 3²)
|A| = √(16 + 9)
|A| = √25 = 5

الخطوة 3: حساب طول المتجه B

|B| = √(1² + 2²)
|B| = √(1 + 4)
|B| = √5 ≈ 2.236

الخطوة 4: حساب cos θ

cos θ = (A · B) / (|A| × |B|)
cos θ = 10 / (5 × √5)
cos θ = 10 / (5 × 2.236)
cos θ = 10 / 11.18
cos θ ≈ 0.894

الخطوة 5: حساب الزاوية θ

نأخذ معكوس جيب التمام (cos⁻¹)
θ = cos⁻¹(0.894)
θ ≈ 26.6°

الإجابة النهائية: الزاوية بين المتجهين θ ≈ 26.6°

ملخص القوانين المستخدمة

الضرب الداخلي

A · B = x₁x₂ + y₁y₂

المسائل 1 و 3

طول المتجه

|A| = √(x² + y²)

المسائل 2 و 3

الزاوية بين متجهين

cos θ = A·B / |A||B|

المسألة 3

نصائح مهمة

• الضرب الداخلي: النتيجة دائماً عدد (scalar)
• طول المتجه: استخدم قاعدة فيثاغورس
• الإشارة السالبة: عند التربيع تصبح موجبة
• cos θ: يجب أن تكون قيمته بين -1 و 1
• الزاوية: استخدم cos⁻¹ للحصول على الزاوية بالدرجات
• الآلة الحاسبة: تأكد من ضبطها على وضع الدرجات (Degrees)

الشرح

حساب الضرب الداخلي والزاوية بين متجهين

الموضوع: العمليات الحسابية على المتجهات

المفاهيم: الضرب الداخلي (الضرب القياسي)، حساب الزاوية بين متجهين، طول المتجه

الهدف: تعلم كيفية حساب نتيجة الضرب الداخلي بين متجهين وإيجاد الزاوية بينهما

المقدمة

الضرب الداخلي عملية رياضية بين متجهين تعطي عدداً (وليس متجهاً)
في هذا الدرس سنتعلم نقطتين مهمتين عن الضرب الداخلي (الضرب القياسي):

النقطة الأولى: كيف نحسب نتيجة الضرب الداخلي لمتجهين ونحل أمثلة عليه

النقطة الثانية: كيف نستخدم الضرب الداخلي لإيجاد الزاوية بين المتجهين

ملاحظة مهمة:
• الضرب الداخلي (\cdot): النتيجة دائماً عدد (scalar)
• الضرب الاتجاهي (\times): النتيجة دائماً متجه (vector)
الضرب الداخلي بين متجهين يعطي عدداً نستخدمه لحساب الزاوية بينهما

1 كيفية حساب الضرب الداخلي

نضرب إحداثيات x مع بعض، ثم نجمع مع ضرب إحداثيات y
1
القاعدة الأساسية
لحساب الضرب الداخلي بين متجهين:

\langle x_1, y_1 \rangle \cdot \langle x_2, y_2 \rangle = (x_1 \times x_2) + (y_1 \times y_2)
الخطوات:
• الخطوة 1: نضرب إحداثي x الأول في إحداثي x الثاني
• الخطوة 2: نضع علامة الزائد (+)
• الخطوة 3: نضرب إحداثي y الأول في إحداثي y الثاني
• الخطوة 4: نجمع النتيجتين → النتيجة النهائية عدد
2
مثال (1): حساب الضرب الداخلي
المعطى: المتجه الأول \langle 1, 3 \rangle والمتجه الثاني \langle -2, -6 \rangle
المطلوب: حساب الضرب الداخلي بينهما

الحل:

الخطوة 1: نضرب إحداثيات x معاً:
1 \times (-2) = -2
الخطوة 2: نضرب إحداثيات y معاً:
3 \times (-6) = -18
الخطوة 3: نجمع النتيجتين:
-2 + (-18) = -20
النتيجة النهائية: \langle 1, 3 \rangle \cdot \langle -2, -6 \rangle = -20
3
مثال (2): حساب الضرب الداخلي
المعطى: المتجه الأول \langle 3, 4 \rangle والمتجه الثاني \langle 2, -1 \rangle
المطلوب: حساب الضرب الداخلي بينهما

الحل:

\langle 3, 4 \rangle \cdot \langle 2, -1 \rangle = (3 \times 2) + (4 \times -1)
= 6 + (-4) = 6 - 4 = 2
النتيجة النهائية: \langle 3, 4 \rangle \cdot \langle 2, -1 \rangle = 2
النتيجة: الضرب الداخلي بين متجهين يعطي دائماً عدداً (scalar) وليس متجهاً

2 إيجاد الزاوية بين متجهين

نستخدم قانون الجيب التمام (cos) مع الضرب الداخلي وطول المتجهات
1
القانون الأساسي
لإيجاد الزاوية \theta بين متجهين A و B:

\cos \theta = \frac{A \cdot B}{|A| \times |B|}
حيث:
• A \cdot B = نتيجة الضرب الداخلي بين المتجهين
• |A| = طول المتجه A
• |B| = طول المتجه B
• \theta = الزاوية بين المتجهين
2
كيفية حساب طول المتجه
بما أن المتجه في الصورة الإحداثية يبدأ من نقطة الأصل (0, 0):

|\langle x, y \rangle| = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}
مثال: لحساب طول المتجه \langle 3, 4 \rangle:
|\langle 3, 4 \rangle| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
3
مثال كامل: إيجاد الزاوية بين متجهين
المعطى: المتجه A = \langle 3, 4 \rangle والمتجه B = \langle 2, -1 \rangle
المطلوب: إيجاد الزاوية \theta بين المتجهين

الخطوة 1: حساب الضرب الداخلي
(من المثال السابق)
A \cdot B = 2
الخطوة 2: حساب طول المتجه A
|A| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
الخطوة 3: حساب طول المتجه B
|B| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2.236
الخطوة 4: تطبيق القانون
\cos \theta = \frac{A \cdot B}{|A| \times |B|}
\cos \theta = \frac{2}{5 \times \sqrt{5}}
\cos \theta = \frac{2}{5 \times 2.236} \approx \frac{2}{11.18} \approx 0.178
الخطوة 5: حساب الزاوية
نأخذ معكوس الجيب التمام (\cos^{-1})
\theta = \cos^{-1}(0.178) \approx 80°
النتيجة النهائية: الزاوية بين المتجهين \approx 80°
النتيجة: نستخدم الضرب الداخلي وأطوال المتجهات لإيجاد الزاوية بينهما

الملخص النهائي

حساب الضرب الداخلي

\langle x_1, y_1 \rangle \cdot \langle x_2, y_2 \rangle
↓
(x_1 \times x_2) + (y_1 \times y_2)
↓
النتيجة: عدد

حساب طول المتجه

|\langle x, y \rangle|
↓
\sqrt{x^2 + y^2}
↓
النتيجة: عدد موجب

حساب الزاوية

\cos \theta = \frac{A \cdot B}{|A||B|}
↓
\theta = \cos^{-1}(...)
↓
النتيجة: زاوية بالدرجات

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
30
الدرس التالي
ثالث ثانويالفصل الثاني
جاري تحميل التعليقات...