حساب الضرب الداخلي والزاوية بين متجهين

حساب الضرب الداخلي والزاوية بين متجهين

الموضوع: العمليات الحسابية على المتجهات

المفاهيم: الضرب الداخلي (الضرب القياسي)، حساب الزاوية بين متجهين، طول المتجه

الهدف: تعلم كيفية حساب نتيجة الضرب الداخلي بين متجهين وإيجاد الزاوية بينهما

المقدمة

الضرب الداخلي عملية رياضية بين متجهين تعطي عدداً (وليس متجهاً)
في هذا الدرس سنتعلم نقطتين مهمتين عن الضرب الداخلي (الضرب القياسي):

النقطة الأولى: كيف نحسب نتيجة الضرب الداخلي لمتجهين ونحل أمثلة عليه

النقطة الثانية: كيف نستخدم الضرب الداخلي لإيجاد الزاوية بين المتجهين

ملاحظة مهمة:
• الضرب الداخلي (\cdot): النتيجة دائماً عدد (scalar)
• الضرب الاتجاهي (\times): النتيجة دائماً متجه (vector)
الضرب الداخلي بين متجهين يعطي عدداً نستخدمه لحساب الزاوية بينهما

1 كيفية حساب الضرب الداخلي

نضرب إحداثيات x مع بعض، ثم نجمع مع ضرب إحداثيات y
1
القاعدة الأساسية
لحساب الضرب الداخلي بين متجهين:

\langle x_1, y_1 \rangle \cdot \langle x_2, y_2 \rangle = (x_1 \times x_2) + (y_1 \times y_2)
الخطوات:
• الخطوة 1: نضرب إحداثي x الأول في إحداثي x الثاني
• الخطوة 2: نضع علامة الزائد (+)
• الخطوة 3: نضرب إحداثي y الأول في إحداثي y الثاني
• الخطوة 4: نجمع النتيجتين → النتيجة النهائية عدد
2
مثال (1): حساب الضرب الداخلي
المعطى: المتجه الأول \langle 1, 3 \rangle والمتجه الثاني \langle -2, -6 \rangle
المطلوب: حساب الضرب الداخلي بينهما

الحل:

الخطوة 1: نضرب إحداثيات x معاً:
1 \times (-2) = -2
الخطوة 2: نضرب إحداثيات y معاً:
3 \times (-6) = -18
الخطوة 3: نجمع النتيجتين:
-2 + (-18) = -20
النتيجة النهائية: \langle 1, 3 \rangle \cdot \langle -2, -6 \rangle = -20
3
مثال (2): حساب الضرب الداخلي
المعطى: المتجه الأول \langle 3, 4 \rangle والمتجه الثاني \langle 2, -1 \rangle
المطلوب: حساب الضرب الداخلي بينهما

الحل:

\langle 3, 4 \rangle \cdot \langle 2, -1 \rangle = (3 \times 2) + (4 \times -1)
= 6 + (-4) = 6 - 4 = 2
النتيجة النهائية: \langle 3, 4 \rangle \cdot \langle 2, -1 \rangle = 2
النتيجة: الضرب الداخلي بين متجهين يعطي دائماً عدداً (scalar) وليس متجهاً

2 إيجاد الزاوية بين متجهين

نستخدم قانون الجيب التمام (cos) مع الضرب الداخلي وطول المتجهات
1
القانون الأساسي
لإيجاد الزاوية \theta بين متجهين A و B:

\cos \theta = \frac{A \cdot B}{|A| \times |B|}
حيث:
• A \cdot B = نتيجة الضرب الداخلي بين المتجهين
• |A| = طول المتجه A
• |B| = طول المتجه B
• \theta = الزاوية بين المتجهين
2
كيفية حساب طول المتجه
بما أن المتجه في الصورة الإحداثية يبدأ من نقطة الأصل (0, 0):

|\langle x, y \rangle| = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}
مثال: لحساب طول المتجه \langle 3, 4 \rangle:
|\langle 3, 4 \rangle| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
3
مثال كامل: إيجاد الزاوية بين متجهين
المعطى: المتجه A = \langle 3, 4 \rangle والمتجه B = \langle 2, -1 \rangle
المطلوب: إيجاد الزاوية \theta بين المتجهين

الخطوة 1: حساب الضرب الداخلي
(من المثال السابق)
A \cdot B = 2
الخطوة 2: حساب طول المتجه A
|A| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
الخطوة 3: حساب طول المتجه B
|B| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2.236
الخطوة 4: تطبيق القانون
\cos \theta = \frac{A \cdot B}{|A| \times |B|}
\cos \theta = \frac{2}{5 \times \sqrt{5}}
\cos \theta = \frac{2}{5 \times 2.236} \approx \frac{2}{11.18} \approx 0.178
الخطوة 5: حساب الزاوية
نأخذ معكوس الجيب التمام (\cos^{-1})
\theta = \cos^{-1}(0.178) \approx 80°
النتيجة النهائية: الزاوية بين المتجهين \approx 80°
النتيجة: نستخدم الضرب الداخلي وأطوال المتجهات لإيجاد الزاوية بينهما

الملخص النهائي

حساب الضرب الداخلي

\langle x_1, y_1 \rangle \cdot \langle x_2, y_2 \rangle
↓
(x_1 \times x_2) + (y_1 \times y_2)
↓
النتيجة: عدد

حساب طول المتجه

|\langle x, y \rangle|
↓
\sqrt{x^2 + y^2}
↓
النتيجة: عدد موجب

حساب الزاوية

\cos \theta = \frac{A \cdot B}{|A||B|}
↓
\theta = \cos^{-1}(...)
↓
النتيجة: زاوية بالدرجات
الدرس السابق
0
الدرس التالي
ثالث ثانويالفصل الثاني
جاري تحميل التعليقات...

دروس ذات صلة

الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات

الثانوية

قاعدة اليد اليمنى و علاقتها بالضرب الاتجاهي

الثانوية

مفهوم الضرب الاتجاهي

الثانوية

المتجهات وتحديد الاتجاه

الثانوية

المحصلة ومركبات المتجهات

الثانوية