الضرب الاتجاهي للمتجهات

الضرب الاتجاهي للمتجهات الضرب الاتجاهي للمتجهات

١ مفهوم الضرب الاتجاهي

عندما نضرب متجهين $\vec{U}$ و $\vec{V}$ ضرب اتجاهي، النتيجة تكون متجه جديد متعامد على السطح الذي بينهما.

إذا كان $\vec{U}$ و $\vec{V}$ على المستوى XY، فالمتجه الناتج $\vec{W}$ يكون طالع عمودياً.

نلاحظ أننا دائماً نتكلم عن ثلاثة أبعاد، لذلك عندنا $\vec{i}$ و $\vec{j}$ و $\vec{k}$ . كل متجه لازم يكون له قيمة على الاتجاهات الثلاثة.

$\vec{U} = U_x\vec{i} + U_y\vec{j} + U_z\vec{k}$

$\vec{V} = V_x\vec{i} + V_y\vec{j} + V_z\vec{k}$

كلما ميلنا السطح، يظل المتجه الناتج عمودياً على هذا السطح.

المساحة بين $\vec{U}$ و $\vec{V}$ تمثل متوازي أضلاع. نلاحظ أن هذه المساحة:

المساحة تتأثر بالزاوية بين المتجهين:

الضرب الاتجاهي يكون في أعلى قيمة إذا كانت الزاوية بين المتجهين 90 درجة.

عندما $\theta = 90°$

$|\vec{U} \times \vec{V}| = |\vec{U}| \cdot |\vec{V}|$

(لأن sin(90°) = 1)

لو حسبنا قيمة المتجه الناتج، نجد أنه يساوي دائماً المساحة لمتوازي الأضلاع.

|\vec{U} \times \vec{V}| = |\vec{U}| \cdot |\vec{V}| \cdot \sin(\theta)

حيث $\theta$ هي الزاوية بين المتجهين.

نرى أمثلة كثيرة للضرب الاتجاهي في عالم الفيزياء والكهرباء:

عندما يكون المجال المغناطيسي والتيار الكهربائي متعامدين، تطلع حركة جديدة في اتجاه مختلف.

$\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$

هذا هو السبب الذي جعلنا نستخدم قاعدة اليد اليمنى لتحديد اتجاه الحركة أو القوة الناتجة.