اختبار تجريبي وملخص للرياضيات ثاني ثانوي الفصل الأول

ارسم المعادلة التالية وحدد إذا كانت دالة أم لا باستخدام اختبار الخط العمودي:

y = x^2 + 1

طريقة الحل

✅رسم جدول القيم

x	-2	-1	0	1	2
y	5	2	1	2	5

✅رسم المنحنى

✅تطبيق اختبار الخط العمودي

أي خط عمودي يقطع المنحنى في نقطة واحدة فقط
← إذن هذه المعادلة تمثل دالة

النتيجة: المعادلة تمثل دالة ✓

ارسم الدالة التالية:

f(x) = |x - 2|

طريقة الحل

✅تحليل دالة القيمة المطلقة

f(x) = |x - 2| = \begin{cases} x - 2 & \text{if } x \geq 2 \\ -(x - 2) = 2 - x & \text{if } x < 2 \end{cases}

✅جدول القيم

x	-1	0	1	2	3	4
f(x)	3	2	1	0	1	2

✅رسم الدالة

الرسم: دالة على شكل V مع رأس عند النقطة (2, 0)

مثل المتباينة القيمة المطلقة بيانياً:

y \geq |x| - 4

طريقة الحل

✅رسم الخط الحد $y = |x| - 4$

هذا خط صلب لأن المتباينة تتضمن علامة التساوي (≥)

✅تحديد المنطقة

✅اختبار نقطة

نختبر النقطة (0, 0):

0 \geq |0| - 4 \rightarrow 0 \geq -4

✓ صحيح
إذن المنطقة أعلى الخط مظللة

المنطقة: كل ما يقع أعلى وعلى الخط V-الشكل

أي النقاط الآتية تقع في منطقة حل المتباينة:

5y + 3x > -2

A) (-3, 1) B) (1, -7) C) (0, 0) D) (-4, 0)

طريقة الحل

✅اختبار النقطة A) (-3, 1)

5(1) + 3(-3) = 5 - 9 = -4

-4 > -2

✗ خطأ

✅اختبار النقطة B) (1, -7)

5(-7) + 3(1) = -35 + 3 = -32

-32 > -2

✗ خطأ

✅اختبار النقطة C) (0, 0)

5(0) + 3(0) = 0

0 > -2

✓ صحيح

✅اختبار النقطة D) (-4, 0)

5(0) + 3(-4) = -12

-12 > -2

✗ خطأ

الإجابة الصحيحة: C) (0, 0)

احسب محددة المصفوفة التالية:

\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}

طريقة الحل

✅تطبيق طريقة الأقطار

\det = ad - bc

حيث

a=3

b=2

c=1

d=4

✅الحساب

\det = 3 \times 4 - 2 \times 1 = 12 - 2 = 10

الإجابة :

\det = 10

أوجد ناتج جمع المصفوفتين التاليتين:

\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}

طريقة الحل

✅قاعدة جمع المصفوفات

نجمع العناصر المتناظرة في نفس المواضع

✅جمع العناصر

\begin{pmatrix} 2+1 & 3+(-2) \\ 1+3 & 4+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}

الإجابة :

\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}

أوجد ناتج ضرب المصفوفتين التاليتين:

\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}

طريقة الحل

✅حساب العنصر (1,1)

الصف الأول × العمود الأول:

2 \times 1 + 1 \times 2 = 4

✅حساب العنصر (1,2)

الصف الأول × العمود الثاني:

2 \times 4 + 1 \times 3 = 11

✅حساب العنصر (2,1)

الصف الثاني × العمود الأول:

3 \times 1 + 0 \times 2 = 3

✅حساب العنصر (2,2)

الصف الثاني × العمود الثاني:

3 \times 4 + 0 \times 3 = 12

الإجابة :

\begin{pmatrix} 4 & 11 \\ 3 & 12 \end{pmatrix}

احسب محددة المصفوفة التالية:

\begin{vmatrix} 8 & 6 \\ 5 & 7 \end{vmatrix}

طريقة الحل

✅تطبيق قاعدة المحددة

\det = ad - bc

حيث

a=8

b=6

c=5

d=7

✅الحساب

\det = 8 \times 7 - 6 \times 5 = 56 - 30 = 26

الإجابة :

\det = 26

احسب محددة المصفوفة التالية:

\begin{vmatrix} -6 & -6 \\ 8 & 10 \end{vmatrix}

طريقة الحل

✅تطبيق قاعدة المحددة مع الأرقام السالبة

\det = ad - bc

حيث

a=-6

b=-6

c=8

d=10

✅الحساب

\det = (-6) \times 10 - (-6) \times 8 = -60 - (-48) = -60 + 48 = -12

الإجابة :

\det = -12

استعمل قاعدة كرامر لحل نظام المعادلات التالي:

6x - 5y = 73

-7x + 3y = -71

طريقة الحل

✅حساب المحددة الرئيسية D

D = \begin{vmatrix} 6 & -5 \\ -7 & 3 \end{vmatrix} = 6(3) - (-5)(-7) = 18 - 35 = -17

✅حساب $D_x$ و $D_y$

D_x = \begin{vmatrix} 73 & -5 \\ -71 & 3 \end{vmatrix} = 73(3) - (-5)(-71) = 219 - 355 = -136

D_y = \begin{vmatrix} 6 & 73 \\ -7 & -71 \end{vmatrix} = 6(-71) - 73(-7) = -426 + 511 = 85

✅إيجاد الحلول

x = \frac{D_x}{D} = \frac{-136}{-17} = 8

y = \frac{D_y}{D} = \frac{85}{-17} = -5

الإجابة :

x = 8

y = -5

أوجد النظير الضربي للمصفوفة التالية إن وجد:

\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

طريقة الحل

✅حساب محددة المصفوفة

\det = 3 \times 2 - 0 \times 0 = 6

✅تطبيق قانون النظير الضربي

A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}

الإجابة :

A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}

أوجد ناتج كل مما يأتي:

(-3 + i) + (-4 - i)

طريقة الحل

✅جمع الأجزاء الحقيقية والتخيلية منفصلة

(-3 + i) + (-4 - i) = (-3 + (-4)) + (i + (-i))

= -7 + 0i = -7

الإجابة :

-7

أوجد ناتج كل مما يأتي:

(1 + 2i)(1 - 2i)

طريقة الحل

✅تطبيق خاصية الفرق بين مربعين

(1 + 2i)(1 - 2i) = 1^2 - (2i)^2

= 1 - 4i^2 = 1 - 4(-1) = 1 + 4 = 5

الإجابة :

5

أوجد ناتج كل مما يأتي:

\sqrt{-121}

طريقة الحل

✅تحويل إلى رقم تخيلي

\sqrt{-121} = \sqrt{121 \times (-1)} = \sqrt{121} \times \sqrt{-1}

= 11 \times i = 11i

الإجابة :

11i

حل كل معادلة مما يأتي باستعمال القانون العام:

x^2 + 12x - 9 = 0

طريقة الحل

✅تحديد المعاملات

a = 1

b = 12

c = -9

✅تطبيق القانون العام

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4(1)(-9)}}{2(1)}

✅حساب المميز

\Delta = 12^2 - 4(1)(-9) = 144 + 36 = 180

\sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5}

✅إيجاد الحلول

x = \frac{-12 \pm 6\sqrt{5}}{2} = \frac{-12 + 6\sqrt{5}}{2} = -6 + 3\sqrt{5}

أو

x = \frac{-12 - 6\sqrt{5}}{2} = -6 - 3\sqrt{5}

الإجابة :

x = -6 + 3\sqrt{5}

أو

x = -6 - 3\sqrt{5}

حل كل معادلة مما يأتي باستعمال القانون العام:

x^2 + 8x + 5 = 0

طريقة الحل

✅تحديد المعاملات

a = 1

b = 8

c = 5

✅تطبيق القانون العام

x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(5)}}{2(1)}

x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 20}}{2}

✅حساب المميز وإيجاد الحلول

\Delta = 44

\sqrt{44} = 2\sqrt{11}

x = \frac{-8 \pm 2\sqrt{11}}{2} = -4 \pm \sqrt{11}

الإجابة :

x = -4 + \sqrt{11}

أو

x = -4 - \sqrt{11}

أوجد قيمة المميز للمعادلة التربيعية التالية:

3x^2 + 8x + 2 = 0

طريقة الحل

✅تحديد المعاملات

a = 3

b = 8

c = 2

✅تطبيق قانون المميز

\Delta = b^2 - 4ac

\Delta = 8^2 - 4(3)(2) = 64 - 24 = 40

✅تحديد نوع الجذور

بما أن المميز موجب (40 > 0)،
فإن المعادلة لها جذران حقيقيان ومختلفان

الإجابة : المميز = 40 (جذران حقيقيان ومختلفان)

أوجد قيمة المميز وحدد عدد الجذور وطبيعتها:

2x^2 - 6x + 9 = 0

طريقة الحل

✅تحديد المعاملات

a = 2

b = -6

c = 9

✅حساب المميز

\Delta = (-6)^2 - 4(2)(9) = 36 - 72 = -36

✅تحديد طبيعة الجذور

بما أن المميز سالب (-36 < 0)،
فإن المعادلة لها جذران تخيليان مترافقان
أي لا توجد جذور حقيقية

الإجابة : المميز = -36 (جذران تخيليان مترافقان)

بسط كلاً مما يأتي مفترضاً أن أياً من المتغيرات لا يساوي صفراً:

(2a^3b^{-2})(-4a^2b^4)

طريقة الحل

✅ضرب المعاملات العددية

2 \times (-4) = -8

✅جمع الأسس للمتغير a

a^3 \times a^2 = a^{3+2} = a^5

✅جمع الأسس للمتغير b

b^{-2} \times b^4 = b^{-2+4} = b^2

✅النتيجة

(2a^3b^{-2})(-4a^2b^4) = -8a^5b^2

الإجابة :

-8a^5b^2

بسط العبارة التالية:

\frac{12x^4y^2}{2xy^5}

طريقة الحل

✅قسمة المعاملات العددية

\frac{12}{2} = 6

✅طرح أسس المتغير x

\frac{x^4}{x^1} = x^{4-1} = x^3

✅طرح أسس المتغير y

\frac{y^2}{y^5} = y^{2-5} = y^{-3} = \frac{1}{y^3}

✅النتيجة

\frac{12x^4y^2}{2xy^5} = 6x^3y^{-3} = \frac{6x^3}{y^3}

الإجابة :

\frac{6x^3}{y^3}

بسط العبارة التالية:

\left(\frac{2a^2}{3b}\right)^3

طريقة الحل

✅تطبيق قانون القوى على الكسر

\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

\left(\frac{2a^2}{3b}\right)^3 = \frac{(2a^2)^3}{(3b)^3}

✅حساب البسط

(2a^2)^3 = 2^3 \times (a^2)^3 = 8 \times a^{2 \times 3} = 8a^6

✅حساب المقام

(3b)^3 = 3^3 \times b^3 = 27b^3

✅النتيجة

\left(\frac{2a^2}{3b}\right)^3 = \frac{8a^6}{27b^3}

الإجابة :

\frac{8a^6}{27b^3}

بسط العبارة التالية:

\frac{24a^3b^2 - 16a^2b^3}{8ab}

طريقة الحل

✅تحليل العامل المشترك في البسط

24a^3b^2 - 16a^2b^3 = 8a^2b^2(3a - 2b)

✅كتابة الكسر الجديد

\frac{24a^3b^2 - 16a^2b^3}{8ab} = \frac{8a^2b^2(3a - 2b)}{8ab}

✅اختصار العوامل المشتركة

\frac{8a^2b^2(3a - 2b)}{8ab} = \frac{a^2b^2(3a - 2b)}{ab} = ab(3a - 2b)

✅توزيع وتبسيط

ab(3a - 2b) = 3a^2b - 2ab^2

الإجابة :

3a^2b - 2ab^2

بسط العبارة التالية:

\frac{5x^2y - 10xy + 15xy^2}{5xy}

طريقة الحل

✅تحليل العامل المشترك في البسط

5x^2y - 10xy + 15xy^2 = 5xy(x - 2 + 3y)

✅اختصار العوامل المشتركة

\frac{5xy(x - 2 + 3y)}{5xy} = x - 2 + 3y

الإجابة :

x - 2 + 3y

اختبار تجريبي وملخص للرياضيات ثاني ثانوي الفصل الأول

الشرح

ارسم المعادلة التالية وحدد إذا كانت دالة أم لا باستخدام اختبار الخط العمودي:

طريقة الحل

✅رسم جدول القيم

✅رسم المنحنى

✅تطبيق اختبار الخط العمودي

ارسم الدالة التالية:

طريقة الحل

✅تحليل دالة القيمة المطلقة

✅جدول القيم

✅رسم الدالة

مثل المتباينة القيمة المطلقة بيانياً:

طريقة الحل

✅رسم الخط الحد

✅تحديد المنطقة

✅اختبار نقطة

أي النقاط الآتية تقع في منطقة حل المتباينة:

طريقة الحل

✅اختبار النقطة A) (-3, 1)

✅اختبار النقطة B) (1, -7)

✅اختبار النقطة C) (0, 0)

✅اختبار النقطة D) (-4, 0)

احسب محددة المصفوفة التالية:

طريقة الحل

✅تطبيق طريقة الأقطار

✅الحساب

أوجد ناتج جمع المصفوفتين التاليتين:

طريقة الحل

✅قاعدة جمع المصفوفات

✅جمع العناصر

أوجد ناتج ضرب المصفوفتين التاليتين:

طريقة الحل

✅حساب العنصر (1,1)

✅حساب العنصر (1,2)

✅حساب العنصر (2,1)

✅حساب العنصر (2,2)

احسب محددة المصفوفة التالية:

طريقة الحل

✅تطبيق قاعدة المحددة

✅الحساب

احسب محددة المصفوفة التالية:

طريقة الحل

✅تطبيق قاعدة المحددة مع الأرقام السالبة

✅الحساب

استعمل قاعدة كرامر لحل نظام المعادلات التالي:

طريقة الحل

✅حساب المحددة الرئيسية D

✅حساب و

✅إيجاد الحلول

أوجد النظير الضربي للمصفوفة التالية إن وجد:

طريقة الحل

✅حساب محددة المصفوفة

✅تطبيق قانون النظير الضربي

أوجد ناتج كل مما يأتي:

طريقة الحل

✅جمع الأجزاء الحقيقية والتخيلية منفصلة

أوجد ناتج كل مما يأتي:

طريقة الحل

✅تطبيق خاصية الفرق بين مربعين

أوجد ناتج كل مما يأتي:

طريقة الحل

✅تحويل إلى رقم تخيلي

حل كل معادلة مما يأتي باستعمال القانون العام:

طريقة الحل

✅تحديد المعاملات

✅تطبيق القانون العام

✅حساب المميز

✅إيجاد الحلول

حل كل معادلة مما يأتي باستعمال القانون العام:

طريقة الحل

✅تحديد المعاملات

✅تطبيق القانون العام

✅حساب المميز وإيجاد الحلول

أوجد قيمة المميز للمعادلة التربيعية التالية:

طريقة الحل

✅تحديد المعاملات

✅تطبيق قانون المميز

✅تحديد نوع الجذور

أوجد قيمة المميز وحدد عدد الجذور وطبيعتها:

✅رسم الخط الحد $y = |x| - 4$

✅حساب $D_x$ و $D_y$