اختبر فهمك

1

أي من العبارات التالية تمثل خاصية التبديل في الجمع؟

الشرح

خصائص الأعداد الحقيقية

الرياضيات — الأعداد الحقيقية

الهدف: فهم الخصائص الأساسية للعمليات على الأعداد الحقيقية.

التبديل

ترتيب العناصر لا يؤثر في النتيجة.

التجميع

طريقة تجميع العناصر لا تؤثر في النتيجة.

التوزيع

توزيع الضرب على الجمع.

العنصر المحايد والنظير

الصفر والواحد ومفهوم النظير.

١

خاصية التبديل (Commutative Property)

— في الجمع: ترتيب الأعداد لا يغيّر النتيجة.

a + b = b + a

مثال ١

— $5 + 2 = 2 + 5 = 7$

— في الضرب: ترتيب الأعداد لا يغيّر الناتج.

a \times b = b \times a

مثال ٢

— $5 \times 2 = 2 \times 5 = 10$

٢

خاصية التجميع (Associative Property)

— في الجمع: طريقة تجميع الأعداد لا تؤثر في النتيجة.

a + (b + c) = (a + b) + c

مثال ١

— $5 + (2 + 7) = 5 + 9 = 14$

— $(5 + 2) + 7 = 7 + 7 = 14$

— في الضرب: طريقة تجميع الأعداد لا تؤثر في الناتج.

a \times (b \times c) = (a \times b) \times c

مثال ٢

— $5 \times (2 \times 7) = 5 \times 14 = 70$

— $(5 \times 2) \times 7 = 10 \times 7 = 70$

٣

العنصر المحايد (Identity Element)

— محايد الجمع هو الصفر: إضافته لا تغيّر العدد.

a + 0 = 0 + a = a

— محايد الضرب هو الواحد: الضرب فيه لا يغيّر العدد.

a \times 1 = 1 \times a = a

٤

خاصية النظير (Inverse Property)

— النظير الجمعي لأي عدد $a$ هو $-a$ ، وجمعهما يساوي الصفر.

a + (-a) = (-a) + a = 0

مثال ١

— $2 + (-2) = 0$

— النظير الضربي لأي عدد $a$ هو $\dfrac{1}{a}$ ، وحاصل ضربهما يساوي الواحد.

a \times \frac{1}{a} = 1 \quad (a \neq 0)

ملاحظة

— يُشترط أن يكون $a \neq 0$ ، لأن $\dfrac{1}{0}$ غير معرّف (لانهاية).

٥

خاصية الانغلاق (Closure Property)

— جمع أي عددين حقيقيين ينتج دائماً عدداً حقيقياً، ولا نخرج من المجموعة.

a + b \in \mathbb{R}

— ضرب أي عددين حقيقيين ينتج دائماً عدداً حقيقياً.

a \times b \in \mathbb{R}

٦

خاصية التوزيع (Distributive Property)

— يمكن توزيع الضرب على الجمع من اليسار أو من اليمين.

a(b + c) = ab + ac

(b + c)a = ba + ca

مثال ١

— $3 \times (4 + 5) = 3 \times 4 + 3 \times 5$

— $= 12 + 15 = 27$

ملخص الخصائص

الخاصية	الجمع	الضرب
التبديل	$a+b=b+a$	$a \times b=b \times a$
التجميع	$a+(b+c)=(a+b)+c$	$a(bc)=(ab)c$
العنصر المحايد	$a+0=a$	$a \times 1=a$
النظير	$a+(-a)=0$	$a \times \frac{1}{a}=1$
الانغلاق	$a+b \in \mathbb{R}$	$a \times b \in \mathbb{R}$
التوزيع	$a(b+c)=ab+ac$