دالة الظل (Tangent Function)

فهم شامل لدالة الظل وخصائصها وسلوكها

---

✅ تعريف دالة الظل

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$ cos θ ≠ 0 (المقام لا يساوي صفر) $$\tan \theta = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}}$$ $$\tan \theta = \frac{y\text{-إحداثي}}{x\text{-إحداثي}}$$

---

✅ تحليل سلوك دالة الظل في دائرة الوحدة

#### عند θ = 0°:

- sin 0° = 0، cos 0° = 1

- tan 0° = 0/1 = 0

#### عند θ = 30°:

- sin 30° = 1/2، cos 30° = √3/2

- tan 30° = (1/2)/(√3/2) = 1/√3

#### عند θ = 45°:

- sin 45° = √2/2، cos 45° = √2/2

- tan 45° = (√2/2)/(√2/2) = 1

#### عند θ = 60°:

- sin 60° = √3/2، cos 60° = 1/2

- tan 60° = (√3/2)/(1/2) = √3

#### عند θ → 90°:

- sin 90° = 1، cos 90° = 0

- tan 90° = 1/0 = غير معرف (∞)

- تبدأ من 0

- تزداد باستمرار

- تتجه إلى +∞ عند 90°

- جميع القيم موجبة

---

✅ تحليل سلوك دالة الظل في الأرباع الأربعة

- sin θ > 0, cos θ > 0

- tan θ = (+)/(+) = موجب

- من 0 إلى +∞

- sin θ > 0, cos θ < 0

- tan θ = (+)/(-) = سالب

- من -∞ إلى 0

- sin θ < 0, cos θ < 0

- tan θ = (-)/(−) = موجب

- من 0 إلى +∞

- sin θ < 0, cos θ > 0

- tan θ = (-)/(+) = سالب

- من -∞ إلى 0

---

✅ الرسم البياني لدالة الظل

```

|

| /

| /

| /

-----+--/-----

|

|\

| \

| \

| \

```

- التماثل حول الأصل (دالة فردية)

- خطوط مقاربة عمودية عند θ = 90°, 270°, ...

- تكرار النمط كل 180°

---

✅ خصائص دالة الظل

$$\text{الدورة} = 180° = \pi \text{ راديان}$$ المعنى: tan(θ + 180°) = tan θ غير معرفة لأن الدالة تمتد من -∞ إلى +∞ جميع الأعداد الحقيقية عدا: $$\theta eq 90° + n \times 180°$$

حيث n عدد صحيح

بالراديان: $$\theta eq \frac{\pi}{2} + n\pi$$ جميع الأعداد الحقيقية: (-∞, +∞) دالة فردية: tan(-θ) = -tan(θ)

---

✅ جدول القيم الخاصة لدالة الظل

| الزاوية | بالراديان | tan θ | القيمة العشرية |

|------------|---------------|-----------|---------------------|

| 0° | 0 | 0 | 0 |

| 30° | π/6 | 1/√3 | 0.577 |

| 45° | π/4 | 1 | 1 |

| 60° | π/3 | √3 | 1.732 |

| 90° | π/2 | غير معرف | ∞ |

| 120° | 2π/3 | -√3 | -1.732 |

| 135° | 3π/4 | -1 | -1 |

| 150° | 5π/6 | -1/√3 | -0.577 |

| 180° | π | 0 | 0 |

| 210° | 7π/6 | 1/√3 | 0.577 |

| 225° | 5π/4 | 1 | 1 |

| 240° | 4π/3 | √3 | 1.732 |

| 270° | 3π/2 | غير معرف | ∞ |

| 300° | 5π/3 | -√3 | -1.732 |

| 315° | 7π/4 | -1 | -1 |

| 330° | 11π/6 | -1/√3 | -0.577 |

| 360° | 2π | 0 | 0 |

---

✅ أمثلة محلولة على حساب دالة الظل

أوجد قيمة tan 120°

#### الحل:

الطريقة الأولى - استخدام الزوايا المرجعية:

120° = 180° - 60°

في الربع الثاني: tan سالب

tan 120° = -tan 60° = -√3

الطريقة الثانية - استخدام التعريف:

sin 120° = √3/2، cos 120° = -1/2

tan 120° = (√3/2)/(-1/2) = -√3

أوجد قيمة tan(-135°)

#### الحل:

استخدام خاصية الدالة الفردية:

tan(-135°) = -tan(135°)

tan 135° = -tan 45° = -1

إذن: tan(-135°) = -(-1) = 1

أوجد قيمة tan 495°

#### الحل:

استخدام الدورية:

495° = 495° - 2(180°) = 495° - 360° = 135°

tan 495° = tan 135° = -1

---

✅ تطبيقات عملية لدالة الظل

#### المسألة:

شخص يقف على بعد 50 متراً من قاعدة مبنى. زاوية الارتفاع لأعلى المبنى 35°. أوجد ارتفاع المبنى.

#### الحل:

$$\tan 35° = \frac{\text{ارتفاع المبنى}}{\text{المسافة الأفقية}}$$ $$\tan 35° = \frac{h}{50}$$ $$h = 50 \times \tan 35°$$ $$h = 50 \times 0.7002 = 35.01 \text{ متر}$$ الإجابة: ارتفاع المبنى ≈ 35 متراً

#### المسألة:

سفينة تبحر شرقاً بسرعة 20 عقدة لمدة 3 ساعات، ثم تغير اتجاهها إلى الشمال الشرقي (45°) وتبحر لمدة 2 ساعة بنفس السرعة. أوجد الزاوية بين موقعها النهائي والاتجاه الشرقي من نقطة البداية.

#### الحل:

حساب المسافات:

- المسافة شرقاً: 20 × 3 = 60 عقدة

- المسافة في الاتجاه الشمالي الشرقي: 20 × 2 = 40 عقدة

تحليل الحركة الثانية:

- المكون الشرقي: 40 cos 45° = 40 × (√2/2) = 20√2

- المكون الشمالي: 40 sin 45° = 40 × (√2/2) = 20√2

الموقع النهائي:

- المسافة الشرقية الكلية: 60 + 20√2 ≈ 88.28

- المسافة الشمالية الكلية: 20√2 ≈ 28.28

الزاوية المطلوبة: $$\tan \theta = \frac{28.28}{88.28} = 0.32$$ $$\theta = \arctan(0.32) ≈ 17.7°$$

---

✅ مثال 6: مسألة هندسية

#### المسألة:

في مثلث ABC قائم الزاوية في C، إذا كان tan A = 3/4، وكان الضلع AC = 12 سم، أوجد:

1. 1. طول الضلع BC
2. 2. طول الوتر AB

#### الحل:

الجزء الأول: $$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4}$$ $$\frac{BC}{12} = \frac{3}{4}$$ $$BC = 12 \times \frac{3}{4} = 9 \text{ سم}$$ الجزء الثاني:

باستخدام نظرية فيثاغورس:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$ $$AB^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$$ $$AB = 15 \text{ سم}$$

---

✅ مثال 7: مسألة فيزيائية - المقذوفات

#### المسألة:

قذيفة تُطلق بزاوية θ مع الأفق. إذا وصلت إلى أقصى ارتفاع 45 متراً وسقطت على بعد 180 متراً من نقطة الإطلاق، أوجد زاوية الإطلاق.

#### الحل:

استخدام قوانين الحركة: $$\text{المدى} = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$$ $$\text{أقصى ارتفاع} = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}$$ من النسبة بين المعادلتين: $$\frac{\text{أقصى ارتفاع}}{\text{المدى}} = \frac{\sin^2 \theta \cdot g}{2g \cdot \sin(2\theta)} = \frac{\sin^2 \theta}{4 \sin \theta \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{4 \cos \theta} = \frac{\tan \theta}{4}$$ $$\frac{45}{180} = \frac{\tan \theta}{4}$$ $$\frac{1}{4} = \frac{\tan \theta}{4}$$ $$\tan \theta = 1$$ $$\theta = 45°$$

---

✅ حل المعادلات المثلثية بدالة الظل

حل المعادلة: tan θ = √3 في المجال [0°, 360°]

#### الحل:

الحل الأساسي:

tan θ = √3 → θ = 60°

استخدام الدورية:

نضيف 180° للحصول على الحل الثاني:

θ = 60° + 180° = 240°

الحلول: θ = 60°, 240°

حل المعادلة: tan(2θ) = 1 في المجال [0°, 180°]

#### الحل:

الحل الأساسي:

tan(2θ) = 1 → 2θ = 45°

θ = 22.5°

استخدام الدورية:

2θ = 45° + 180° = 225° → θ = 112.5°

2θ = 45° + 360° = 405° → θ = 202.5° (خارج المجال)

الحلول: θ = 22.5°, 112.5°

---

✅ تحويلات دالة الظل

$$y = A \tan(B\theta + C) + D$$

#### A - السعة العمودية:

- A > 0: نفس الاتجاه

- A < 0: انعكاس حول المحور الأفقي

- |A|: معامل التمدد العمودي

#### B - تغيير الدورة:

- الدورة الجديدة = 180°/|B|

- B > 1: ضغط أفقي

- 0 < B < 1: تمدد أفقي

#### C - الإزاحة الأفقية:

- الإزاحة = -C/B

#### D - الإزاحة العمودية:

- رفع أو خفض الرسم البياني

---

✅ أمثلة على التحويلات

#### التحليل:

- A = 2: تمدد عمودي بمعامل 2

- B = 3: الدورة الجديدة = 180°/3 = 60°

- لا توجد إزاحات

#### نقاط مهمة:

- عند θ = 0°: y = 0

- عند θ = 15°: y = 2 tan(45°) = 2

- خطوط مقاربة عند θ = 30°, 90°, 150°, ...

#### التحليل:

- A = 1: لا تغيير في السعة

- B = 1: الدورة = 180° (طبيعية)

- C = -30°: إزاحة يمين 30°

- D = 1: إزاحة عمودية لأعلى 1

#### نقاط مهمة:

- النقطة (30°, 1) تقابل (0°, 0) في الدالة الأصلية

- خطوط مقاربة عند θ = 120°, 300°, ...

---

✅ العلاقات المثلثية المهمة لدالة الظل

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$ $$\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta}$$ $$\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$$ $$\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$ $$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$$

---

✅ أمثلة على المتطابقات

أوجد قيمة tan 75° باستخدام متطابقة جمع الزوايا

#### الحل:

$$\tan 75° = \tan(45° + 30°)$$ $$= \frac{\tan 45° + \tan 30°}{1 - \tan 45° \tan 30°}$$ $$= \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ $$= \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ $$= \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}}$$ $$= \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$$

بترشيد المقام:

$$= \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$$

---

✅ تطبيقات متقدمة

#### المسألة:

إشارة اهتزاز تُمثل بالمعادلة: y = 5 tan(πt/4) حيث t بالثواني. أوجد:

1. 1. الدورة الزمنية
2. 2. التردد
3. 3. أول لحظة تصبح فيها الإشارة غير معرفة

#### الحل:

الدورة الزمنية: $$T = \frac{180°}{π/4} = \frac{180° \times 4}{π} = \frac{720°}{π} = \frac{4\pi}{\pi} = 4 \text{ ثانية}$$ التردد: $$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{4} = 0.25 \text{ هيرتز}$$ أول لحظة غير معرفة: $$\frac{\pi t}{4} = \frac{\pi}{2}$$ $$t = 2 \text{ ثانية}$$

---

✅ مقارنة دالة الظل مع الدوال الأخرى

| الخاصية | sin θ | cos θ | tan θ |

|-------------|-----------|-----------|-----------|

| الدورة | 360° | 360° | 180° |

| السعة | 1 | 1 | غير معرفة |

| المجال | جميع الأعداد الحقيقية | جميع الأعداد الحقيقية | ℝ \ {90°+n×180°} |

| المدى | [-1, 1] | [-1, 1] | (-∞, +∞) |

| نوع الدالة | فردية | زوجية | فردية |

| خطوط المقاربة | لا توجد | لا توجد | عند cos θ = 0 |

---

✅ أخطاء شائعة مع دالة الظل

❌ خطأ: tan 90° = 1

❌ خطأ: tan(θ + 360°) = tan θ

❌ خطأ: tan(-θ) = tan θ

❌ خطأ: إذا كان tan θ = 1، فإن θ = 45° فقط

---

✅ نصائح للتعامل مع دالة الظل

- تذكر القيم الأساسية: 0°, 30°, 45°, 60°

- استخدم الزوايا المرجعية للزوايا الكبيرة

- احفظ الدورة 180° وليس 360°

- تحقق من المجال قبل الحساب

- استخدم الآلة الحاسبة للزوايا غير الخاصة

- انتبه للوحدة (درجات أم راديان)

- ابدأ بالخطوط المقاربة

- حدد النقاط الأساسية (0°, 45°, 135°, ...)

- استخدم التماثل (دالة فردية)

---

✅ الخلاصة

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

- الدورة: 180°

- المدى: جميع الأعداد الحقيقية

- دالة فردية: tan(-θ) = -tan θ

- خطوط مقاربة عند cos θ = 0

- حساب الارتفاعات والمسافات

- تحليل الزوايا في الهندسة

- الفيزياء (مقذوفات، اهتزازات)

- الهندسة والمساحة

- أساسية في المثلثات

- مفيدة في التطبيقات العملية

- ضرورية في الفيزياء والهندسة

- أساس للدوال المثلثية العكسية

دالة الظل تلعب دوراً محورياً في الرياضيات التطبيقية وتفتح آفاقاً واسعة لحل المسائل العملية والهندسية.