دالة الظل (التانجنت)

رياضيات — الدوال المثلثية

الهدف: فهم تعريف دالة الظل وعلاقتها بالجيب وجيب التمام، وتحديد الخطوط المقاربة والمجال والمدى والدورة.

التعريف

sin ÷ cos

الدورة

180° فقط

المدى

جميع الأعداد الحقيقية

تعريف دالة الظل

— دالة الظل هي نسبة دالة الجيب إلى جيب التمام:

\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}

— في المثلث القائم، الظل هو نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور:

tan(θ) = الضلع المقابل الضلع المجاور

ملاحظة

— عندما يكون cos(θ) = 0 تصبح دالة الظل غير معرّفة لأننا نقسم على الصفر.

— هذا هو سبب وجود الخطوط المقاربة العمودية في رسمها البياني.

إشارة دالة الظل في الأرباع الأربعة

— إشارة tan تعتمد على إشارتي sin وcos معاً:

الربع الأول (0°–90°)

sin > 0 ، cos > 0

tan = (+)/(+) = موجب

الربع الثاني (90°–180°)

sin > 0 ، cos < 0

tan = (+)/(−) = سالب

الربع الثالث (180°–270°)

sin < 0 ، cos < 0

tan = (−)/(−) = موجب

الربع الرابع (270°–360°)

sin < 0 ، cos > 0

tan = (−)/(+) = سالب

القاعدة السريعة

— tan موجب في الربع الأول والثالث (الحاصلان يتشابهان).

— tan سالب في الربع الثاني والرابع (الحاصلان يختلفان).

الرسم البياني التفاعلي

— استخدم الأزرار لاستكشاف شكل الدالة والخطوط المقاربة:

الزاوية: — | tan = —

الخطوط المقاربة والدورة

— الخطوط المقاربة العمودية تقع عند كل زاوية يكون فيها cos(θ) = 0:

\theta = 90° + n \times 180° \quad (n \in \mathbb{Z})

— أمثلة: −90°، 90°، 270°، 450°، ...

— دالة الظل تتكرر كل 180° (نصف دورة الجيب وجيب التمام):

\tan(\theta + 180°) = \tan(\theta)

— دالة الظل دالة فردية، تتناظر حول نقطة الأصل:

\tan(-\theta) = -\tan(\theta)

لماذا الدورة 180° وليس 360°؟

— لأن tan = sin/cos، وعند الانتقال من 0° إلى 180°، تعيد النسبة نفس القيم تماماً كما في 180° إلى 360°.

أمثلة محلولة

مثال ١: احسب tan(240°).

— 240° = 180° + 60°، إذن الزاوية في الربع الثالث.

— في الربع الثالث: tan موجب.

\tan(240°) = \tan(180° + 60°) = \tan(60°) = \sqrt{3}

الإجابة: tan(240°) = √3 ≈ 1.732

مثال ٢: احسب tan(135°).

— 135° في الربع الثاني: tan سالب.

— الزاوية المرجعية = 180° − 135° = 45°.

\tan(135°) = -\tan(45°) = -1

الإجابة: tan(135°) = −1

مثال ٣: بسّط التعبير tan(θ) × cos(θ).

— نستبدل بالتعريف:

\tan(\theta) \times \cos(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \times \cos(\theta) = \sin(\theta)

الإجابة: tan(θ) × cos(θ) = sin(θ)

ملخص خصائص دالة الظل

الخاصية	القيمة
التعريف	tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
المجال	كل الأعداد عدا 90° + 180°n
المدى	(-∞ , +∞)
الدورة	180° أو π
نوع الدالة	فردية: tan(−θ) = −tan(θ)
الخطوط المقاربة	عند cos(θ) = 0

الخلاصة

— التعريف: tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)، نسبة الجيب إلى جيب التمام.

— الدورة: 180° فقط — نصف دورة الجيب وجيب التمام.

— الخطوط المقاربة: عند 90° + 180°n حيث cos = 0.

— الإشارة: موجب في الربع الأول والثالث، سالب في الثاني والرابع.

— التناظر: دالة فردية متناظرة حول نقطة الأصل.

دالة الظل

الشرح