إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية

إكمال المربع إكمال المربع

إكمال المربع

طريقة حل المعادلات التربيعية بتحويلها إلى الشكل المربع الكامل

لماذا نحتاج إكمال المربع؟

الهدف الأساسي:

التخلص من التربيع في المعادلة عن طريق تحويل المعادلة التربيعية إلى شكل:

(x + a)^2 = b

حل المعادلة التربيعية

بطريقة منهجية ومنظمة

تحويل المعادلة

من الدرجة الثانية إلى الأولى

أخذ الجذر التربيعي

للطرفين والحصول على الحل

الفكرة:

بدلاً من حل معادلة معقدة مثل: $x^2 + 6x + 5 = 0$

نحولها إلى: $(x + 3)^2 = 4$

ثم نأخذ الجذر: $x + 3 = ±2$

مراجعة: فك المربع الكامل

القاعدة الأساسية:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

أمثلة:

$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$
$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$
$(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$

في إكمال المربع نعمل العكس: نحول من $x^2 + 6x + 9$ إلى $(x + 3)^2$

خطوات إكمال المربع

الخطوة 1: التأكد من معامل $x^2$

يجب أن يكون معامل $x^2 = 1$

إذا كان غير ذلك، نقسم المعادلة كاملة على هذا المعامل

الخطوة 2: إضافة وطرح العدد المناسب

نأخذ معامل $x$ ونقسمه على 2 ونربعه

نضيف هذا العدد للطرفين للحفاظ على المعادلة

الخطوة 3: تحويل إلى المربع الكامل

نكتب الطرف الأيمن في صورة $(x + a)^2$

نبسط الطرف الأيسر

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين

رسم بياني يوضح إكمال المربع

معامل x:

القيمة: 6

الثابت:

القيمة: 5

مثال (1): الحل الأول - مثال مفصل

المعادلة: $x^2 + 6x + 5 = 0$

الخطوة الأولى: التحقق من معامل $x^2$

معامل $x^2 = 1$ ✅ (لا نحتاج تعديل)

الخطوة الثانية: إضافة العدد المناسب

x

\frac{6}{2} = 3

3^2 = 9

نضيف 9 للطرفين: $x^2 + 6x + 5 + 9 = 0 + 9$

x^2 + 6x + 14 = 9

الخطوة الثالثة: التحويل والحل

ننقل الثابت: $x^2 + 6x + 9 = 9 - 5 = 4$

(x + 3)^2 = 4

x + 3 = ±2

الحلول:

x + 3 = 2

x + 3 = -2

الحل النهائي:

x = -1

أو

x = -5

مثال (2): معامل غير 1

المعادلة: $2x^2 + 8x + 6 = 0$

الخطوة الأولى: جعل معامل $x^2 = 1$

\frac{2x^2 + 8x + 6}{2} = \frac{0}{2}

x^2 + 4x + 3 = 0

الخطوة الثانية: إضافة العدد المناسب

x

نضيف 4 للطرفين: $x^2 + 4x + 3 + 4 = 0 + 4$

الخطوة الثالثة: التحويل والحل

x^2 + 4x + 7 = 4

x^2 + 4x + 4 = 4 - 3 = 1

(x + 2)^2 = 1

x + 2 = ±1

الحل النهائي:

x = -1

أو

x = -3

مثال (3): معامل سالب

المعادلة: $x^2 - 10x + 21 = 0$

الخطوة الأولى: معامل

x^2 = 1

✅

الخطوة الثانية: إضافة العدد المناسب

x

نضيف 25 للطرفين: $x^2 - 10x + 21 + 25 = 0 + 25$

الخطوة الثالثة: التحويل والحل

x^2 - 10x + 46 = 25

x^2 - 10x + 25 = 25 - 21 = 4

(x - 5)^2 = 4

x - 5 = ±2

الحل النهائي:

x = 7

أو

x = 3

مثال (4): معامل كسري

المعادلة: $\frac{1}{2}x^2 + 3x - 2 = 0$

الخطوة الأولى: جعل معامل $x^2 = 1$

2 \times \left(\frac{1}{2}x^2 + 3x - 2\right) = 2 \times 0

x^2 + 6x - 4 = 0

الخطوة الثانية: إضافة العدد المناسب

x

نضيف 9 للطرفين: $x^2 + 6x - 4 + 9 = 0 + 9$

الخطوة الثالثة: التحويل والحل

x^2 + 6x + 5 = 9

x^2 + 6x + 9 = 9 + 4 = 13

(x + 3)^2 = 13

x + 3 = ±\sqrt{13}

الحل النهائي:

x = -3 ± \sqrt{13}

مثال (5): حل بدون جذور حقيقية

المعادلة: $x^2 + 4x + 8 = 0$

الخطوات:

1. معامل $x^2 = 1$ ✅

2. معامل $x$ = 4 → $\frac{4}{2} = 2$ → $2^2 = 4$

3. نضيف 4: $x^2 + 4x + 8 + 4 = 0 + 4$

x^2 + 4x + 12 = 4

5. ننقل الثابت: $x^2 + 4x + 4 = 4 - 8 = -4$

(x + 2)^2 = -4

النتيجة: لا توجد حلول حقيقية لأن

(x + 2)^2

لا يمكن أن يساوي عدداً سالباً في الأعداد الحقيقية.

مثال (6): معادلة بمتغير مختلف

المعادلة: $t^2 - 8t + 12 = 0$

الحل:

1. معامل $t^2 = 1$ ✅

2. معامل $t$ = -8 → $\frac{-8}{2} = -4$ → $(-4)^2 = 16$

3. نضيف 16: $t^2 - 8t + 12 + 16 = 0 + 16$

t^2 - 8t + 28 = 16

5. ننقل الثابت: $t^2 - 8t + 16 = 16 - 12 = 4$

(t - 4)^2 = 4

t - 4 = ±2

الحلول:

t = 6

أو

t = 2

مثال (7): تطبيق في مسائل الهندسة

المسألة:

مستطيل طوله أكبر من عرضه بـ 3 وحدات، ومساحته 40 وحدة مربعة. أوجد أبعاد المستطيل.

الحل:

نفرض العرض = $x$

الطول = $x + 3$

المساحة = الطول × العرض = $x(x + 3) = 40$

x^2 + 3x = 40

x^2 + 3x - 40 = 0

إكمال المربع:

1. معامل $x^2 = 1$ ✅

2. معامل $x$ = 3 → $\frac{3}{2} = 1.5$ → $(1.5)^2 = 2.25$

3. نضيف 2.25: $x^2 + 3x - 40 + 2.25 = 0 + 2.25$

x^2 + 3x - 37.75 = 2.25

x^2 + 3x + 2.25 = 2.25 + 40 = 42.25

(x + 1.5)^2 = 42.25

x + 1.5 = ±6.5

النتيجة: العرض = 5، الطول = 8 (نرفض الحل السالب)

نصائح مهمة لإكمال المربع

القواعد الأساسية:

تأكد دائماً من أن معامل $x^2 = 1$
أضف نفس العدد للطرفين للحفاظ على المعادلة
تذكر الإشارة عند تربيع الأعداد السالبة
الجذر التربيعي يعطي حلين: موجب وسالب

الأخطاء الشائعة:

نسيان إضافة العدد للطرف الأيسر من المعادلة

إضافة نفس العدد للطرفين

نسيان الإشارة السالبة في الجذر

كتابة ± عند أخذ الجذر

عدم التحقق من الحلول

التحقق بالتعويض في المعادلة الأصلية

متى نستخدم إكمال المربع:

حل المعادلات التربيعية التي لا تتحلل بسهولة
إيجاد نقطة الرأس للدالة التربيعية
تحويل المعادلة إلى الشكل المعياري
في مسائل التحسين والهندسة التحليلية

الخلاصة

إكمال المربع طريقة قوية ومنهجية لحل المعادلات التربيعية عن طريق:

تحويل المعادلة إلى شكل $(x + a)^2 = b$
التخلص من التربيع بأخذ الجذر للطرفين
الحصول على حلين للمعادلة التربيعية

هذه الطريقة مفيدة جداً عندما يكون القانون العام معقداً أو عندما نريد فهم سلوك الدالة التربيعية بشكل أعمق.

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا

👨‍💻

ثالث متوسط الفصل الثالث

جاري تحميل التعليقات...

إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية | أكاديمية موسى