دليل الدالة التربيعية الشامل

سبب التسمية والتعريف

التعريف: الدالة التربيعية تُسمى كذلك لأن أعلى أس للمتغير

x

هو 2 (تربيع)

الشروط:

✅ يمكن أن تحتوي على $x^2$ ، $x^1$ ، $x^0$ (الحد الثابت)
❌ لا يمكن أن تحتوي على $x^3$ أو أعلى
⚠️ المعامل الرئيسي $a \neq 0$ (وإلا ستصبح دالة خطية)

لماذا $a \neq 0$ ؟
إذا كان

a = 0

، فسيختفي الحد

ax^2

تماماً، وتصبح المعادلة:

f(x) = bx + c

وهذه دالة خطية وليست تربيعية.

الشكل القياسي

f(x) = ax^2 + bx + c

حيث:

$a$ : معامل $x^2$ (يجب أن يكون $a \neq 0$ )
$b$ : معامل $x$
$c$ : الحد الثابت

الشكل البياني - القطع المكافئ

خصائص الشكل:

الشكل: قطع مكافئ (Parabola)
الاتجاه: يفتح إما لأعلى أو لأسفل
التناظر: متناظر حول محور عمودي

تحديد اتجاه فتح القطع المكافئ:

قيمة المعامل $a$	اتجاه الفتح	الشكل
$a > 0$ (موجب)	يفتح لأعلى ⬆️	∪
$a < 0$ (سالب)	يفتح لأسفل ⬇️	∩

التطبيقات العملية

الدالة التربيعية تُستخدم لنمذجة الحركات التي تتضمن:

الحركة الصاعدة ثم الهابطة:

رمي الكرة في الهواء
مسار المقذوفات
حركة المياه في النافورة
مسار القفز

الحركة الهابطة ثم الصاعدة:

الأجسام المتساقطة ثم المرتدة
حركة البندول
الاهتزازات

إحداثيات رأس القطع المكافئ

الإحداثي الأفقي (محور التناظر):

x_v = -\frac{b}{2a}

الإحداثي العمودي:

الطريقة الأولى: التعويض

y_v = f(x_v) = f\left(-\frac{b}{2a}\right)

الطريقة الثانية: الصيغة المباشرة

y_v = c - \frac{b^2}{4a}

إحداثيات الرأس
الرأس =

\left(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a}\right)

سلوك محور التناظر

قاعدة مهمة: محور التناظر يتحرك عكس إشارة المعامل

b

إشارة $b$	اتجاه محور التناظر
$b > 0$ (موجب)	يتحرك يساراً ⬅️
$b < 0$ (سالب)	يتحرك يميناً ➡️
$b = 0$	يقع على محور $y$

ملاحظة مهمة: عندما $b = 0$ ، تصبح الدالة $f(x) = ax^2 + c$ ، والرأس يقع دائماً على محور $y$ في النقطة $(0, c)$ .

جذور الدالة التربيعية

تعريف الجذور: الجذور هي حلول المعادلة

f(x) = 0

، أو نقاط تقاطع القطع المكافئ مع محور

x

قانون عدد الجذور:

الدالة التربيعية (أس 2): لها دائماً جذران
الدالة التكعيبية (أس 3): لها ثلاثة جذور
القاعدة العامة: درجة الدالة = عدد الجذور

الحالة الأولى: جذران حقيقيان مختلفان

الشرط: القطع المكافئ يتقاطع مع محور $x$ في نقطتين مختلفتين

متى يحدث؟

رأس الشكل فوق محور $x$ والشكل يفتح لأسفل
رأس الشكل تحت محور $x$ والشكل يفتح لأعلى
$\Delta = b^2 - 4ac > 0$

الحالة الثانية: جذران غير حقيقيان

الشرط: القطع المكافئ لا يتقاطع مع محور $x$

متى يحدث؟

رأس الشكل فوق محور $x$ والشكل يفتح لأعلى
رأس الشكل تحت محور $x$ والشكل يفتح لأسفل
$\Delta = b^2 - 4ac < 0$

الحالة الثالثة: جذر واحد مكرر

الشرط: القطع المكافئ يلمس محور $x$ في نقطة واحدة فقط

متى يحدث؟

رأس الشكل يقع بالضبط على محور $x$
$\Delta = b^2 - 4ac = 0$

المميز والجذور

المميز (Discriminant)

\Delta = b^2 - 4ac

قيمة المميز	نوع الجذور	عدد التقاطعات مع محور $x$
$\Delta > 0$	جذران حقيقيان مختلفان	2
$\Delta = 0$	جذر واحد مكرر	1
$\Delta < 0$	جذران تخيليان	0

صيغة الجذور

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

أمثلة تطبيقية

مثال 1: جذران حقيقيان مختلفان

$f(x) = x^2 - 5x + 6$

$a = 1 > 0$ (يفتح لأعلى)
$\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$
الجذران: $x = 2, x = 3$
رأس الشكل: $(2.5, -0.25)$ (تحت محور $x$ )

مثال 2: جذر مكرر

$f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$

$a = 1 > 0$ (يفتح لأعلى)
$\Delta = 16 - 16 = 0$
الجذر المكرر: $x = 2$
رأس الشكل: $(2, 0)$ (على محور $x$ )

مثال 3: جذران تخيليان

$f(x) = x^2 + 2x + 5$

$a = 1 > 0$ (يفتح لأعلى)
$\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$
الجذران التخيليان: $x = -1 \pm 2i$
رأس الشكل: $(-1, 4)$ (فوق محور $x$ )

تأثير المعاملات على شكل الدالة

المعامل $a$ (معامل $x^2$ )

الوظيفة: تحديد اتجاه فتح القطع المكافئ

$a > 0$ : يفتح لأعلى ⬆️
$a < 0$ : يفتح لأسفل ⬇️

المعامل $b$ (معامل $x$ )

الوظيفة: تحديد موقع محور التناظر

$b > 0$ : ينزح يساراً ⬅️
$b < 0$ : ينزح يميناً ➡️
$b = 0$ : على محور $y$

المعامل $c$ (الحد الثابت)

الوظيفة: الإزاحة العمودية

$c > 0$ : ترفع الدالة لأعلى
$c < 0$ : تنزل الدالة لأسفل
$c = 0$ : تمر عبر نقطة الأصل

ملاحظة مهمة عن المعامل $c$

c

يمثل قيمة الدالة عند

x = 0

f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c

مثال تفاعلي: تأثير المعاملات

المعامل

a

:

1

المعامل

b

:

0

المعامل

c

:

0

أمثلة شاملة على تأثير المعاملات

مثال 1: تحليل $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$

$a = 2 > 0$ → يفتح لأعلى، له قيمة صغرى
$b = -8 < 0$ → محور التناظر: $x = -\frac{-8}{2×2} = 2$ (يمين)
$c = 3 > 0$ → يتقاطع مع محور $y$ عند النقطة $(0, 3)$

مثال 2: تحليل $f(x) = -x^2 + 6x - 5$

$a = -1 < 0$ → يفتح لأسفل، له قيمة عظمى
$b = 6 > 0$ → محور التناظر: $x = -\frac{6}{2×(-1)} = 3$ (يمين)
$c = -5 < 0$ → يتقاطع مع محور $y$ عند النقطة $(0, -5)$

مثال 3: تحليل $f(x) = x^2 - 4$

$a = 1 > 0$ → يفتح لأعلى
$b = 0$ → محور التناظر: $x = 0$ (على محور $y$ ، لا توجد إزاحة أفقية)
$c = -4 < 0$ → يتقاطع مع محور $y$ عند النقطة $(0, -4)$

استراتيجية حل المسائل

خطوات التحليل:

1 تحديد الشكل القياسي:

ax^2 + bx + c

2 تحديد اتجاه الفتح: علامة

a

3 حساب إحداثيات الرأس:

\left(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a}\right)

4 حساب المميز:

\Delta = b^2 - 4ac

5 تحديد نوع الجذور: حسب قيمة

\Delta

6 تحليل تأثير المعاملات:

a

(الاتجاه)،

b

(الإزاحة الأفقية)،

c

(الإزاحة العمودية)

7 التحقق: مقارنة النتائج مع التصور البياني

ملخص سريع للمعاملات:
•

a

: اتجاه الفتح (موجب = أعلى، سالب = أسفل)
•

b

: الإزاحة الأفقية (موجب = يسار، سالب = يمين)
•

c

: الإزاحة العمودية (موجب = أعلى، سالب = أسفل)

تطبيقات وتمارين

تمرين 1: تحليل دالة تربيعية

حلل الدالة: $f(x) = -2x^2 + 4x + 1$

حدد اتجاه فتح القطع المكافئ
احسب إحداثيات الرأس
حدد نوع الجذور

الحل:

اتجاه الفتح: $a = -2 < 0$ → يفتح لأسفل ⬇️
إحداثيات الرأس:
$x_v = -\frac{4}{2×(-2)} = 1$
$y_v = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = 3$
الرأس: $(1, 3)$
نوع الجذور:
$\Delta = 16 - 4×(-2)×1 = 16 + 8 = 24 > 0$
جذران حقيقيان مختلفان

تمرين 2: إيجاد الجذور

أوجد جذور الدالة: $f(x) = x^2 - 6x + 9$

الحل:

$\Delta = 36 - 36 = 0$ → جذر مكرر

$x = \frac{6}{2} = 3$

الجذر المكرر هو $x = 3$

ملاحظة: $f(x) = (x-3)^2$

تمرين 3: تطبيق عملي

كرة تُرمى من ارتفاع 5 أمتار. ارتفاعها يُعطى بالدالة: $h(t) = -5t^2 + 10t + 5$

أوجد:

أقصى ارتفاع تصله الكرة
الزمن الذي تحتاجه لتصل إلى الأرض

الحل:

أقصى ارتفاع:
زمن الوصول لأقصى ارتفاع: $t = -\frac{10}{2×(-5)} = 1$ ثانية
أقصى ارتفاع: $h(1) = -5(1)^2 + 10(1) + 5 = 10$ متر
الوصول للأرض: عندما $h(t) = 0$
$-5t^2 + 10t + 5 = 0$
$t^2 - 2t - 1 = 0$
$t = \frac{2 + \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 + \sqrt{2} \approx 2.41$ ثانية

النقاط الرئيسية

الشكل القياسي: $f(x) = ax^2 + bx + c$ حيث $a \neq 0$
الشكل البياني: قطع مكافئ يفتح لأعلى $(a > 0)$ أو لأسفل $(a < 0)$
الرأس: $\left(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a}\right)$ وهو نقطة القيمة العظمى أو الصغرى
المميز: $\Delta = b^2 - 4ac$ يحدد نوع الجذور
الجذور: $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
تأثير المعاملات: $a$ (الاتجاه)، $b$ (الإزاحة الأفقية)، $c$ (الإزاحة العمودية)
التطبيقات: نمذجة الحركة المتسارعة، المقذوفات، والمسائل التحسينية
الفهم البصري: تصور الحل قبل الحسابات يساعد في التحقق من صحة النتائج

الدالة التربيعية

الأهداف

الشروط:

خصائص الشكل:

تحديد اتجاه فتح القطع المكافئ:

الحركة الصاعدة ثم الهابطة:

الحركة الهابطة ثم الصاعدة:

الإحداثي الأفقي (محور التناظر):

الإحداثي العمودي:

قانون عدد الجذور:

الحالة الأولى: جذران حقيقيان مختلفان

الحالة الثانية: جذران غير حقيقيان

الحالة الثالثة: جذر واحد مكرر

مثال 1: جذران حقيقيان مختلفان

مثال 2: جذر مكرر

مثال 3: جذران تخيليان

المعامل $a$ (معامل $x^2$ )

المعامل $b$ (معامل $x$ )

المعامل $c$ (الحد الثابت)

مثال تفاعلي: تأثير المعاملات

مثال 1: تحليل $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$

مثال 2: تحليل $f(x) = -x^2 + 6x - 5$

مثال 3: تحليل $f(x) = x^2 - 4$

خطوات التحليل:

تمرين 1: تحليل دالة تربيعية

الحل:

تمرين 2: إيجاد الجذور

الحل:

تمرين 3: تطبيق عملي

الحل:

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

الدالة التربيعية

الأهداف

الشروط:

خصائص الشكل:

تحديد اتجاه فتح القطع المكافئ:

الحركة الصاعدة ثم الهابطة:

الحركة الهابطة ثم الصاعدة:

الإحداثي الأفقي (محور التناظر):

الإحداثي العمودي:

قانون عدد الجذور:

الحالة الأولى: جذران حقيقيان مختلفان

الحالة الثانية: جذران غير حقيقيان

الحالة الثالثة: جذر واحد مكرر

مثال 1: جذران حقيقيان مختلفان

مثال 2: جذر مكرر

مثال 3: جذران تخيليان

المعامل (معامل )

المعامل (معامل )

المعامل (الحد الثابت)

مثال تفاعلي: تأثير المعاملات

مثال 1: تحليل

مثال 2: تحليل

مثال 3: تحليل

خطوات التحليل:

تمرين 1: تحليل دالة تربيعية

الحل:

تمرين 2: إيجاد الجذور

الحل:

تمرين 3: تطبيق عملي

الحل:

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

المعامل $a$ (معامل $x^2$ )

المعامل $b$ (معامل $x$ )

المعامل $c$ (الحد الثابت)

مثال 1: تحليل $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$

مثال 2: تحليل $f(x) = -x^2 + 6x - 5$

مثال 3: تحليل $f(x) = x^2 - 4$