الدالة التربيعية

تعريف الدالة التربيعية

الدالة التربيعية هي دالة من الدرجة الثانية

f(x) = ax^2 + bx + c

لماذا سميت بالتربيعية؟

لأن أعلى قوة للمتغير $x$ هي التربيع ( $x^2$ )
المعامل $a \neq 0$ للحفاظ على الحد التربيعي
إذا كان $a = 0$ ، تصبح الدالة خطية وليست تربيعية

شكل الدالة التربيعية

شكل الدالة التربيعية = قطع مكافئ (Parabola)

إذا كان $a > 0$

يفتح القطع المكافئ إلى أعلى
الرأس يمثل أقل قيمة (حد أدنى)

إذا كان $a < 0$

يفتح القطع المكافئ إلى أسفل
الرأس يمثل أعلى قيمة (حد أقصى)

دراسة المعاملات $a$ , $b$ , $c$

المعامل	التأثير على الدالة	ملاحظات
$a$	يحدد اتجاه فتح القطع المكافئ وعرضه	موجب → أعلى، سالب → أسفل
$b$	يؤثر على موقع محور التماثل	$x = -\frac{b}{2a}$
$c$	تقاطع الدالة مع المحور $y$	النقطة $(0, c)$

تجربة تفاعلية - تأثير المعاملات

المعامل

a

: 1

المعامل

b

: 0

المعامل

c

: 0

f(x) = x^2

محور التماثل ونقطة الرأس

محور التماثل:

x = -\frac{b}{2a}

نقطة الرأس:

\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)

مثال محلول 1: إيجاد نقطة الرأس

المعطى: $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$

المطلوب: إيجاد محور التماثل ونقطة الرأس

1 تحديد المعاملات:

a = 2

,

b = -4

,

c = 1

2 حساب محور التماثل:

x = -\frac{b}{2a} = -\frac{(-4)}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1

3 حساب إحداثي $y$ للرأس:

f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1

نقطة الرأس:

(1, -1)

محور التماثل:

x = 1

جذور الدالة التربيعية

الجذور = نقاط تقاطع الدالة مع المحور

x

عندما

f(x) = 0

حالات الجذور:

جذران مختلفان: المنحنى يقطع المحور $x$ في نقطتين
جذر واحد مكرر: المنحنى يمس المحور $x$ في نقطة واحدة (الرأس)
لا توجد جذور حقيقية: المنحنى لا يلمس المحور $x$

مثال محلول 2: إيجاد الجذور

المعطى: $f(x) = x^2 - 5x + 6$

المطلوب: إيجاد جذور الدالة

1 وضع الدالة = 0:

x^2 - 5x + 6 = 0

2 التحليل إلى عوامل:
نبحث عن عددين ضربهما = 6 ومجموعهما = -5
العددان هما: -2 و -3

3 كتابة التحليل:

(x - 2)(x - 3) = 0

4 إيجاد الجذور:

x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2

x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3

الجذران:

x_1 = 2

,

x_2 = 3

القانون العام لحل المعادلة التربيعية

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

المميز (Discriminant):

\Delta = b^2 - 4ac

قيمة المميز	نوع الجذور	الشكل البياني
$\Delta > 0$	جذران حقيقيان مختلفان	يقطع المحور $x$ في نقطتين
$\Delta = 0$	جذر واحد مكرر	يمس المحور $x$ في نقطة واحدة
$\Delta < 0$	لا توجد جذور حقيقية	لا يلمس المحور $x$