جذور الدالة التربيعية

جذور الدالة التربيعية

جذور الدالة التربيعية هي نقاط تقاطع منحنى الدالة مع محور س، وهي القيم التي تجعل:

د(س) = ٠

وبما أن الدالة تربيعية، أي أن أكبر أس فيها هو ٢، فإن لها دائمًا جذرين.

أما في الدالة التكعيبية التي يكون أكبر أس فيها ٣، فيكون لها ثلاثة جذور، وهكذا بالنسبة لبقية كثيرات الحدود.

الحالة الأولى: جذران حقيقيان مختلفان

إذا قطع منحنى الدالة محور س في نقطتين مختلفتين، فإن للدالة جذرين حقيقيين مختلفين.

ويمكن ملاحظة هذين الجذرين مباشرة من الرسم البياني، حيث يمثل كل تقاطع مع محور س جذرًا للدالة.

الحالة الثانية: جذر حقيقي مكرر

إذا لامس رأس القطع المكافئ محور س دون أن يقطعه، فإن الجذرين يتطابقان ويصبح لدينا جذر حقيقي واحد مكرر.

ويمكن ملاحظة ذلك عند تحريك المنحنى تدريجيًا، حيث يقترب الجذران من بعضهما حتى يلتقيا عند رأس المنحنى، ثم يصبحان جذرًا واحدًا مكررًا.

الحالة الثالثة: جذران غير حقيقيين

إذا لم يقطع منحنى الدالة محور س إطلاقًا، فإن الجذور لا تظهر على الرسم البياني.

ويحدث ذلك إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى ورأسه فوق محور س، أو كان مفتوحًا إلى أسفل ورأسه أسفل محور س.

وفي هذه الحالة تكون للدالة جذران غير حقيقيين، وينتميان إلى مجموعة الأعداد المركبة، ولذلك لا يظهران على المستوى الإحداثي الحقيقي.

القيم القصوى للدالة التربيعية

تمثل القيم القصوى أعلى أو أدنى قيمة تصل إليها الدالة، وتقع دائمًا عند رأس القطع المكافئ.

إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى، فإن الرأس يمثل القيمة الصغرى للدالة.

أما إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أسفل، فإن الرأس يمثل القيمة العظمى للدالة.

إيجاد إحداثيات رأس المنحنى

لحساب الإحداثي الأفقي لرأس المنحنى نستخدم معادلة محور التناظر:

س = −ب ÷ (٢أ)

ثم نعوض بقيمة س في الدالة للحصول على الإحداثي العمودي للرأس.

وبذلك نحصل على إحداثيات رأس المنحنى، والتي تمثل القيمة العظمى أو الصغرى للدالة بحسب اتجاه فتح القطع المكافئ.