الدليل الشامل للتكامل: جميع أساسيات التكامل

محتوى الدرس - النقاط الخمس الرئيسية

  • 1️⃣ المبدأ الأساسي للتكامل - المساحة تحت المنحنى
  • 2️⃣ إشارات التكامل ودلالاتها
  • 3️⃣ العلاقة بين الدالة وتكاملها
  • 4️⃣ التطبيقات العملية - التراكمات المتصلة
  • 5️⃣ استخدام التكامل لحساب مساحات الأشكال

1️⃣ المبدأ الأساسي للتكامل

التكامل بكل بساطة هو المساحة تحت منحنى الدالة. هذا هو المبدأ الرئيسي والأساسي للتكامل.

\int_{a}^{b} f(x) \, dx
 = المساحة تحت المنحنى من a إلى b

إذا عرفنا كيف نحسب المساحة تحت المنحنى، فإننا نكون قد وصلنا إلى جوهر التكامل. وأغلب التعقيدات في دروس التكامل تأتي من:

  • دوال خطية وثابتة (بسيطة)
  • دوال مثلثية (sin, cos)
  • دوال مركبة مثل x² sin²x
الخلاصة: طالما قدرنا نحسب المساحة تحت منحنى الدالة بأي طريقة، حتى لو اخترعناها، فقد حققنا الهدف الرئيسي من التكامل.

2️⃣ إشارات التكامل

المساحة في عالم التكامل قد تكون موجبة أو سالبة، وهذا يساعدنا في تحديد الاتجاه والموقع:

قواعد الإشارات

موجبة (+): الاتجاه يمين (من اليسار إلى اليمين) و المساحة فوق محور x
سالبة (−): الاتجاه يسار (من اليمين إلى اليسار) أو المساحة تحت محور x
ملاحظة مهمة: عند اجتماع سببين للإشارة السالبة (الاتجاه يسار والمساحة تحت المحور) تصبح النتيجة موجبة (كأننا نضرب سالب في سالب)
الحالات الأربع لإشارات المساحة

الحالة الأولى: موجبة (+)

a
b

الاتجاه يمين (من a إلى b)
المساحة فوق محور x

+

الحالة الثانية: سالبة (−)

b
a

الاتجاه يسار (من b إلى a)
المساحة فوق محور x

−

الحالة الثالثة: سالبة (−)

a
b

الاتجاه يمين (من a إلى b)
المساحة تحت محور x

−

الحالة الرابعة: موجبة (+)

b
a

الاتجاه يسار (من b إلى a)
المساحة تحت محور x

+ (− × −)

مثال تفاعلي: إشارات التكامل

∫02

3️⃣ العلاقة بين الدالة وتكاملها

قيمة دالة التكامل عند أي نقطة = المساحة تحت منحنى الدالة الأصلية من 0 إلى تلك النقطة

أمثلة توضيحية
الدالة الأصلية دالة التكامل
دالة ثابتة: y = 5 y = 5x + C
دالة خطية: y = 2x y = x^2 + C

التكامل للدالة الثابتة y = 5

2

التكامل للدالة الخطية y = 2x

2

4️⃣ التطبيقات العملية - التراكمات المتصلة

نحتاج التكامل عندما نريد حساب التراكمات المتصلة عبر فترة زمنية معينة.

أمثلة من الحياة اليومية
تراكم الماء في خزان
1
إذا كان معدل تدفق الماء = 3 لتر/دقيقة، كم لتر يتجمع خلال 10 دقائق؟
الحل:
كمية الماء = \int_{0}^{10} 3 \, dt = [3t]_{0}^{10} = 30 لتر
حساب المسافة من السرعة
2
سيارة تتحرك بسرعة ثابتة 60 كم/ساعة. احسب المسافة المقطوعة خلال 2.5 ساعة.
الحل:
المسافة = \int_{0}^{2.5} 60 \, dt = [60t]_{0}^{2.5} = 150 كم
شرط مهم: الدالة يجب أن تكون متصلة (بدون فجوات أو قفزات) حتى نتمكن من حساب التكامل.

5️⃣ استخدام التكامل لحساب المساحات

بما أن التكامل = المساحة تحت المنحنى، يمكننا استخدامه لحساب مساحات الأشكال الهندسية:

حساب مساحة الأشكال بالتكامل

مساحة الدائرة: A = \int_{-r}^{r} 2\sqrt{r^2 - x^2} \, dx = \pi r^2

ملخص النقاط الخمس الرئيسية

1️⃣ التكامل = المساحة تحت المنحنى

2️⃣ الإشارات تحدد الاتجاه والموقع

3️⃣ قيمة التكامل = المساحة المتراكمة

4️⃣ نستخدم التكامل للتراكمات المتصلة

5️⃣ يمكن حساب مساحات الأشكال بالتكامل

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
317
الدرس التالي
جاري تحميل التعليقات...
الدليل الشامل للتكامل: جميع أساسيات التكامل | أكاديمية موسى