كيف نتخيل التكامل بالرسم

أهداف الدرس

  • فهم معنى التكامل كمساحة تحت المنحنى
  • تتبع كيف تبني المساحة التراكمية دالة التكامل
  • فهم العلاقة بين الدالة الأصلية ودالة التكامل
  • ربط التكامل بالتطبيقات العملية

ما هو التكامل؟

التكامل هو المساحة تحت منحنى الدالة، أو بمعنى آخر، هو التراكم التدريجي لقيم الدالة.

الفكرة الأساسية: التكامل يجيب على الأسئلة التالية:

  • ما هي المساحة الكلية تحت المنحنى من نقطة البداية حتى x؟
  • كيف تتراكم القيم مع الزمن أو المسافة؟
  • ما هو المجموع الكلي للتغيرات الصغيرة؟
\int f(x) \, dx = F(x) + C

حيث F(x) هي دالة التكامل (المساحة التراكمية)

استكشاف تفاعلي: بناء دالة التكامل

شاهد كيف تتراكم المساحة تحت المنحنى لبناء دالة التكامل في كل نوع من الدوال

بناء دالة التكامل خطوة بخطوة

اختر نوع الدالة وشاهد كيف تتراكم المساحة لتكوين دالة التكامل:

الدالة الأصلية f(x)
المساحة تحت المنحنى
دالة التكامل F(x)

دالة ثابتة: f(x) = 3

دالة خطية: f(x) = 2x

دالة تربيعية: f(x) = (x² - 4)/4

دالة جيبية: f(x) = sin(x)

فهم العلاقة: الدالة والتكامل

الدالة f(x) التكامل F(x) المعنى
موجبة يزداد المساحة الموجبة تضيف للتكامل
سالبة يتناقص المساحة السالبة تطرح من التكامل
صفر ثابت لا توجد مساحة للإضافة

مثال: الحركة والمسافة

إذا كانت v(t) هي السرعة:

التكامل ∫v(t)dt يعطي المسافة المقطوعة

• السرعة الموجبة = حركة للأمام

• السرعة السالبة = حركة للخلف

• المسافة الكلية = مجموع المساحات الموجبة والسالبة

أمثلة محلولة
تكامل دالة ثابتة
1.
أوجد \int 3 \, dx
الحل:
\int 3 \, dx = 3x + C

التفسير: الدالة الثابتة f(x) = 3 تعطي مساحة تتراكم خطياً بمعدل 3 وحدات لكل وحدة في x.
تكامل دالة خطية
2.
أوجد \int 2x \, dx
الحل:
\int 2x \, dx = x^2 + C

التفسير: المساحة تحت الخط المستقيم تتراكم على شكل دالة تربيعية.
تطبيق عملي - السرعة والمسافة
3.
إذا كانت سرعة جسم v(t) = 4t متر/ثانية، أوجد المسافة المقطوعة من t = 0 إلى t = 3 ثوان.
الحل:
المسافة = \int_0^3 4t \, dt
= [2t^2]_0^3
= 2(3)^2 - 2(0)^2
= 18 - 0 = 18 متر

التفسير: المساحة تحت منحنى السرعة من 0 إلى 3 تعطي المسافة الكلية.
ملاحظة مهمة: التكامل هو العملية العكسية للتفاضل. إذا كانت F'(x) = f(x)، فإن ∫f(x)dx = F(x) + C حيث C ثابت التكامل.

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
153
الدرس التالي
جاري تحميل التعليقات...