معنى الاشتقاق وعلاقة الدالة بمشتقتها
أهداف الدرس
- فهم معنى المشتقة كميل للدالة عند نقطة
- تتبع العلاقة بين الدالة ومشتقتها بصرياً
- تحديد النقاط الحرجة من خلال المشتقة
- ربط إشارة المشتقة باتجاه الدالة (تصاعدية/تنازلية)
ما هي المشتقة؟
المشتقة هي معدل التغير اللحظي للدالة عند نقطة معينة، أو بمعنى آخر، هي ميل المماس للمنحنى عند تلك النقطة.
الفكرة الأساسية: المشتقة تخبرنا عن سلوك الدالة:
• كم تتغير الدالة؟ (سرعة التغير)
• في أي اتجاه تتغير؟ (صعود أم نزول)
• أين تتوقف عن التغير؟ (النقاط الحرجة)
• كم تتغير الدالة؟ (سرعة التغير)
• في أي اتجاه تتغير؟ (صعود أم نزول)
• أين تتوقف عن التغير؟ (النقاط الحرجة)
استكشاف تفاعلي: الدالة ومشتقتها
حرك المؤشر على الرسم البياني لبناء منحنى المشتقة تدريجياً:
● الدالة الأصلية f(x)
● المشتقة f'(x)
● خط المماس
دالة تربيعية: f(x) = x²
عند x = 0:
قيمة الدالة f(x) = 0
قيمة المشتقة f'(x) = 0 (الميل)
نقطة حرجة (قاع)
قيمة الدالة f(x) = 0
قيمة المشتقة f'(x) = 0 (الميل)
نقطة حرجة (قاع)
دالة تكعيبية: f(x) = x³/3
عند x = 0:
قيمة الدالة f(x) = 0
قيمة المشتقة f'(x) = 0 (الميل)
نقطة انقلاب
قيمة الدالة f(x) = 0
قيمة المشتقة f'(x) = 0 (الميل)
نقطة انقلاب
دالة جيبية: f(x) = sin(x)
عند x = 0:
قيمة الدالة f(x) = 0
قيمة المشتقة f'(x) = 1 (الميل)
الدالة تصاعدية ↗
قيمة الدالة f(x) = 0
قيمة المشتقة f'(x) = 1 (الميل)
الدالة تصاعدية ↗
دالة أسية: f(x) = eˣ
عند x = 0:
قيمة الدالة f(x) = 1
قيمة المشتقة f'(x) = 1 (الميل)
الدالة تصاعدية ↗
قيمة الدالة f(x) = 1
قيمة المشتقة f'(x) = 1 (الميل)
الدالة تصاعدية ↗
تحليل العلاقة بين الدالة والمشتقة
| حالة المشتقة | سلوك الدالة | التفسير |
|---|---|---|
| f'(x) > 0 | الدالة تصاعدية | الميل موجب، المنحنى يصعد |
| f'(x) < 0 | الدالة تنازلية | الميل سالب، المنحنى ينزل |
| f'(x) = 0 | نقطة حرجة | المماس أفقي، قمة أو قاع محتمل |
مثال: الدالة التربيعية
للدالة f(x) = x²:
المشتقة: f'(x) = 2x
• عند x < 0: المشتقة سالبة → الدالة تنازلية
• عند x = 0: المشتقة = 0 → نقطة حرجة (قاع)
• عند x > 0: المشتقة موجبة → الدالة تصاعدية
للدالة f(x) = x²:
المشتقة: f'(x) = 2x
• عند x < 0: المشتقة سالبة → الدالة تنازلية
• عند x = 0: المشتقة = 0 → نقطة حرجة (قاع)
• عند x > 0: المشتقة موجبة → الدالة تصاعدية
أهمية فهم المشتقة
تطبيقات عملية:
- الفيزياء: السرعة هي مشتقة المسافة، والتسارع هو مشتقة السرعة
- الاقتصاد: التكلفة الحدية هي مشتقة دالة التكلفة الكلية
- الهندسة: إيجاد النقاط الحرجة لتحسين التصاميم
مثال من الحياة الواقعية
إذا كانت دالة الربح لشركة هي P(x) = -x² + 100x - 1000:
• المشتقة P'(x) = -2x + 100 تمثل معدل تغير الربح
• عند x = 50: نجد أن P'(50) = 0 (نقطة الربح الأقصى)
• قبل x = 50: المشتقة موجبة (الربح يزداد)
• بعد x = 50: المشتقة سالبة (الربح يتناقص)
انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات
👨💻
جاري تحميل التعليقات...