مفهوم الاشتقاق ومعدل التغيير

في هذا الدرس سنتعلم المشتقات ومعدل التغير وهو من المفاهيم الأساسية في حساب التفاضل.

سنفهم كيف تمثل المشتقة ميل المنحنى ومعدل التغير اللحظي للدالة.

جاري تحميل DerivativeRateOfChangeSimulator...

جرب المحاكي التفاعلي أولاً!

استخدم المحاكي أعلاه لـ استكشاف المشتقات بصرياً قبل تعلم النظرية الرياضية.

  • حرك النقطة على المنحنى لرؤية تغير الميل
  • لاحظ كيف يتغير الخط المماس عند كل نقطة
  • انتبه للعلاقة بين شكل المنحنى وقيمة المشتقة

1. تعريف المشتقة

المشتقة هي معدل التغير اللحظي للدالة عند نقطة معينة.

تعريف المشتقة

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

المشتقة = نهاية معدل التغير المتوسط عندما المسافة تقترب من الصفر

التفسير الهندسي

ميل الخط المماس

المشتقة تعطي ميل الخط المماس للمنحنى عند أي نقطة

\text{slope} = f'(x)

معدل التغير

سرعة تغير قيمة الدالة بالنسبة للمتغير المستقل

\text{rate} = \frac{dy}{dx}

2. قواعد المشتقة الأساسية

هناك قواعد أساسية لحساب المشتقات دون الحاجة لاستخدام التعريف.

قاعدة القوى

\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}
مثال:
\frac{d}{dx}[x^3] = 3x^2

قاعدة الثابت

\frac{d}{dx}[c] = 0
مثال:
\frac{d}{dx}[5] = 0

قاعدة الجمع

\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)

قاعدة الضرب في ثابت

\frac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = c \cdot f'(x)

3. أمثلة تطبيقية

مثال 1: دالة تربيعية

الدالة:

f(x) = x^2 + 3x - 2

الحل:

f'(x) = \frac{d}{dx}[x^2] + \frac{d}{dx}[3x] + \frac{d}{dx}[-2]
f'(x) = 2x + 3 + 0
f'(x) = 2x + 3

عند x = 1: f'(1) = 2(1) + 3 = 5

الميل عند النقطة (1, 2) يساوي 5

مثال 2: دالة مركبة

الدالة:

f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 7x - 1

الحل:

f'(x) = 2 \cdot 3x^2 - 4 \cdot 2x + 7 \cdot 1 - 0
f'(x) = 6x^2 - 8x + 7

عند x = 2: f'(2) = 6(4) - 8(2) + 7 = 15

الدالة تتزايد بمعدل 15 وحدة لكل وحدة في x

4. التطبيقات العملية

المشتقات لها تطبيقات واسعة في الفيزياء والاقتصاد والهندسة.

الفيزياء

السرعة = مشتقة المسافة

التسارع = مشتقة السرعة

v = \frac{ds}{dt}

الاقتصاد

التكلفة الحدية

الإيراد الحدي

MC = \frac{dC}{dQ}

الهندسة

معدل التدفق

معدل التغير الحراري

\frac{dQ}{dt}

5. خلاصة الدرس

النقاط الرئيسية

  • المشتقة تمثل معدل التغير اللحظي للدالة
  • هندسياً، المشتقة تعطي ميل الخط المماس
  • قاعدة القوى: d/dx[x^n] = n·x^(n-1)
  • المشتقة خطية: مشتقة المجموع = مجموع المشتقات
  • التطبيقات واسعة في العلوم والهندسة

تمارين للممارسة

  1. أوجد مشتقة: f(x) = 3x⁴ - 2x² + 5
  2. احسب ميل المنحنى y = x³ - 4x عند النقطة x = 2
  3. إذا كانت المسافة s(t) = 2t³ - 3t² + t، أوجد السرعة عند t = 1

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
104
الدرس التالي
التفاضل والتكاملالأساسيات
جاري تحميل التعليقات...