القطع الزائد الأفقي والرأسي بكل تفاصيله ومعادلته القياسية

القطع الزائد (Hyperbola)

القطع الزائد هو أحد القطوع المخروطية المهمة، وهو مجموعة جميع النقاط التي الفرق المطلق للمسافتين منها إلى نقطتين ثابتتين (البؤرتين) يساوي مقداراً ثابتاً.

يتكون القطع الزائد من منحنيين منفصلين (فرعين) ويظهر في مدارات المذنبات، انتشار الموجات، وأنظمة الملاحة، وله أشكال أفقية وعمودية مميزة.

محاكي القطع الزائد التفاعلي

جاري تحميل HyperbolaSimulator...

1. تعريف القطع الزائد هندسياً

القطع الزائد هو المحل الهندسي لجميع النقاط التي الفرق المطلق للمسافتين منها إلى نقطتين ثابتتين (البؤرتين) يساوي مقداراً ثابتاً.

التعريف الرياضي: إذا كانت $F_1$ و $F_2$ هما البؤرتان، فإن أي نقطة $P(x,y)$ على القطع الزائد تحقق: $|PF_1 - PF_2| = 2a$ (ثابت)

المركز (Center)

نقطة منتصف القطعة المستقيمة بين البؤرتين

البؤرتان (Foci)

النقطتان الثابتتان المستخدمتان في تعريف القطع الزائد

الرؤوس (Vertices)

النقاط الأقرب للمركز على كل فرع من فروع القطع الزائد

2. أشكال القطع الزائد ومعادلاته

أ) القطع الزائد الأفقي (Horizontal Hyperbola)

الفروع تمتد أفقياً (يميناً ويساراً) - المحور المستعرض أفقي

الصيغة القياسية - مركز في الأصل

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

الصيغة العامة - مركز في $(h,k)$

$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

خصائص القطع الزائد الأفقي:

الرؤوس: $(h \pm a, k)$
البؤرتان: $(h \pm c, k)$ حيث $c^2 = a^2 + b^2$
المحور المستعرض: أفقي بطول $2a$
المحور المترافق: عمودي بطول $2b$
الخطوط المقاربة: $y - k = \pm \frac{b}{a}(x - h)$

ب) القطع الزائد العمودي (Vertical Hyperbola)

الفروع تمتد عمودياً (أعلى وأسفل) - المحور المستعرض عمودي

الصيغة القياسية - مركز في الأصل

$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$

الصيغة العامة - مركز في $(h,k)$

$\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$

خصائص القطع الزائد العمودي:

الرؤوس: $(h, k \pm a)$
البؤرتان: $(h, k \pm c)$ حيث $c^2 = a^2 + b^2$
المحور المستعرض: عمودي بطول $2a$
المحور المترافق: أفقي بطول $2b$
الخطوط المقاربة: $y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h)$

الفرق الرئيسي بين الشكلين

أفقي: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

الحد الموجب تحت $x^2$
الفروع تمتد يميناً ويساراً
الرؤوس على المحور الأفقي

عمودي: $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$

الحد الموجب تحت $y^2$
الفروع تمتد أعلى وأسفل
الرؤوس على المحور العمودي

3. العلاقات الهندسية للقطع الزائد

العلاقة الأساسية

$c^2 = a^2 + b^2$

$a$

نصف طول المحور المستعرض

$b$

نصف طول المحور المترافق

$c$

المسافة من المركز للبؤرة

خصائص مهمة:

الفرق الأساسي عن القطع الناقص: $c^2 = a^2 + b^2$ (جمع بدلاً من طرح)
البؤرتان: تقعان على المحور المستعرض، تبعدان $c$ عن المركز
الشرط: $c > a$ دائماً (البؤرتان خارج الرؤوس)
الخطوط المقاربة: خطوط مستقيمة يقترب منها القطع بلا نهاية
الشكل: منحنيان منفصلان (فرعان)

4. الخطوط المقاربة (Asymptotes)

الخطوط المقاربة هي خطوط مستقيمة يقترب منها القطع الزائد كلما ابتعدنا عن المركز، دون أن يلمسها أبداً.

للقطع الأفقي

$y - k = \pm \frac{b}{a}(x - h)$

ميل الخطوط = $\pm \frac{b}{a}$

للقطع العمودي

$y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h)$

ميل الخطوط = $\pm \frac{a}{b}$

5. الانحراف اللامركزي (Eccentricity)

تعريف الانحراف اللامركزي

$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}$

خصائص الانحراف اللامركزي للقطع الزائد:

$e > 1$ دائماً (لأن $c > a$ )
كلما زاد $e$ ، كلما اتسع القطع الزائد
عندما $e$ يقترب من 1، يقترب الشكل من خط مستقيم
عندما $e$ يزيد كثيراً، تصبح الفروع أكثر انتشاراً

6. أمثلة تطبيقية مفصلة

مثال 1: قطع زائد أفقي بسيط

المعادلة: $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$

التحليل:

$a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$
$b^2 = 16 \Rightarrow b = 4$
$c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25 \Rightarrow c = 5$
المركز: $(0, 0)$
النوع: أفقي (لأن $x^2$ موجب)
الرؤوس: $(\pm 3, 0)$
البؤرتان: $(\pm 5, 0)$
الخطوط المقاربة: $y = \pm \frac{4}{3}x$
الانحراف اللامركزي: $e = \frac{5}{3} \approx 1.67$

مثال 2: قطع زائد عمودي منقول

المعادلة: $\frac{(y+1)^2}{4} - \frac{(x-2)^2}{9} = 1$

التحليل:

المركز: $(2, -1)$
$a^2 = 4 \Rightarrow a = 2$ (تحت $y^2$ )
$b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$
$c = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$
النوع: عمودي (لأن $y^2$ موجب)
الرؤوس: $(2, -1 \pm 2) = (2, 1)$ و $(2, -3)$
البؤرتان: $(2, -1 \pm \sqrt{13})$
الخطوط المقاربة: $y + 1 = \pm \frac{2}{3}(x - 2)$
الانحراف اللامركزي: $e = \frac{\sqrt{13}}{2} \approx 1.80$

مثال 3: إيجاد معادلة قطع زائد من الخصائص

المطلوب: معادلة قطع زائد أفقي مركزه $(0,0)$ ، رؤوسه $(\pm 2, 0)$ ، وبؤرتاه $(\pm 3, 0)$

الحل:

$a = 2, \quad c = 3$

$b^2 = c^2 - a^2 = 9 - 4 = 5$

$b = \sqrt{5}$

المعادلة: $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$

7. التطبيقات العملية للقطع الزائد

الفلك والفيزياء

مدارات المذنبات والأجسام الفضائية
انتشار الموجات الصدمية
مسارات الجسيمات في الفيزياء النووية
نظرية النسبية والثقوب السوداء

التقنية والملاحة

أنظمة تحديد المواقع (GPS)
الرادار وأنظمة التتبع
تصميم المرايا والعدسات المكافئة
الهوائيات والاتصالات اللاسلكية

مثال من الحياة: نظام تحديد المواقع

يستخدم نظام GPS القطوع الزائدة لتحديد الموقع. الفرق في أوقات وصول الإشارات من الأقمار المختلفة يخلق قطوعاً زائدة، وتقاطعها يحدد الموقع الدقيق.

8. مقارنة القطوع المخروطية

الدائرة

$e = 0$

منحنى مغلق

القطع الناقص

$0 < e < 1$

منحنى مغلق

القطع المكافئ

$e = 1$

منحنى مفتوح

القطع الزائد

$e > 1$

منحنيان منفصلان

9. نصائح لحل مسائل القطع الزائد

💡 خطوات منهجية

حدد نوع القطع: أفقي ( $x^2$ موجب) أم عمودي ( $y^2$ موجب)
اعرف المركز: من الصيغة $(x-h)^2$ و $(y-k)^2$
احسب $a$ و $b$ : من المقامات في المعادلة
اعثر على $c$ : استخدم $c^2 = a^2 + b^2$
حدد الرؤوس والبؤرتين: على المحور المستعرض
اكتب الخطوط المقاربة: تساعد في رسم القطع
احسب الانحراف: $e = \frac{c}{a}$ (يجب أن يكون > 1)

10. الأخطاء الشائعة

⚠️ أخطاء يجب تجنبها

الخلط بين الأشكال الأفقية والعمودية للقطع الزائد
استخدام $c^2 = a^2 - b^2$ بدلاً من $c^2 = a^2 + b^2$
نسيان أن الانحراف اللامركزي $e > 1$ دائماً للقطع الزائد
وضع البؤرتين أو الرؤوس على المحور الخطأ
الخطأ في كتابة معادلات الخطوط المقاربة
عدم ملاحظة أن القطع الزائد يتكون من فرعين منفصلين

نقطة مهمة: القطع الزائد له شكلان مختلفان (أفقي وعمودي) ولكن نفس الخصائص الأساسية. فهم الفرق بين الشكلين والتعرف عليهما من المعادلة هو المفتاح لحل المسائل بنجاح.

الخلاصة المهمة

القطع الزائد له شكلان رئيسيان: أفقي (الحد الموجب تحت $x^2$ ) وعمودي (الحد الموجب تحت $y^2$ ). كلاهما يتكون من فرعين منفصلين مع خطوط مقاربة. العلاقة $c^2 = a^2 + b^2$ والانحراف $e > 1$ يميزانه عن باقي القطوع المخروطية، وتطبيقاته واسعة في الملاحة والفيزياء.

القطع الزائد الأفقي والرأسي بكل تفاصيله ومعادلته القياسية

محاكي القطع الزائد التفاعلي

1. تعريف القطع الزائد هندسياً

المركز (Center)

البؤرتان (Foci)

الرؤوس (Vertices)

2. أشكال القطع الزائد ومعادلاته

أ) القطع الزائد الأفقي (Horizontal Hyperbola)

الصيغة القياسية - مركز في الأصل

الصيغة العامة - مركز في

خصائص القطع الزائد الأفقي:

ب) القطع الزائد العمودي (Vertical Hyperbola)

الصيغة القياسية - مركز في الأصل

الصيغة العامة - مركز في

خصائص القطع الزائد العمودي:

الفرق الرئيسي بين الشكلين

أفقي:

عمودي:

3. العلاقات الهندسية للقطع الزائد

العلاقة الأساسية

خصائص مهمة:

4. الخطوط المقاربة (Asymptotes)

للقطع الأفقي

للقطع العمودي

5. الانحراف اللامركزي (Eccentricity)

تعريف الانحراف اللامركزي

خصائص الانحراف اللامركزي للقطع الزائد:

6. أمثلة تطبيقية مفصلة

مثال 1: قطع زائد أفقي بسيط

مثال 2: قطع زائد عمودي منقول

مثال 3: إيجاد معادلة قطع زائد من الخصائص

7. التطبيقات العملية للقطع الزائد

الفلك والفيزياء

التقنية والملاحة

مثال من الحياة: نظام تحديد المواقع

8. مقارنة القطوع المخروطية

الدائرة

القطع الناقص

القطع المكافئ

القطع الزائد

9. نصائح لحل مسائل القطع الزائد

💡 خطوات منهجية

10. الأخطاء الشائعة

⚠️ أخطاء يجب تجنبها

الخلاصة المهمة

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

الصيغة العامة - مركز في $(h,k)$

الصيغة العامة - مركز في $(h,k)$

أفقي: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

عمودي: $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$