معادلة القطع المكافىء بكل تفاصيلها: صوتي تفاعلي

القطع المكافئ (Parabola)

القطع المكافئ هو أحد القطوع المخروطية الأساسية، وهو منحنى يتكون من جميع النقاط المتساوية البعد من نقطة ثابتة (البؤرة) ومستقيم ثابت (الدليل).

يظهر القطع المكافئ في مسارات المقذوفات، عاكسات الأقمار الصناعية، كشافات السيارات، والجسور المعلقة وله تطبيقات واسعة في الفيزياء والهندسة.

محاكي القطع المكافئ التفاعلي

جاري تحميل ParabolaSimulator...

1. تعريف القطع المكافئ هندسياً

القطع المكافئ هو مجموعة جميع النقاط التي تبعد نفس المسافة من البؤرة (Focus) والدليل (Directrix).

التعريف الرياضي: إذا كانت $F$ هي البؤرة و $d$ هو الدليل، فإن أي نقطة $P(x,y)$ على القطع المكافئ تحقق: $PF =$ المسافة من $P$ إلى $d$

الرأس (Vertex)

أقرب نقطة على القطع المكافئ للبؤرة والدليل

البؤرة (Focus)

النقطة الثابتة التي يُعرَّف القطع المكافئ بالنسبة إليها

الدليل (Directrix)

المستقيم الثابت الذي يُعرَّف القطع المكافئ بالنسبة إليه

2. معادلات القطع المكافئ

أ) القطع المكافئ الرأسي (فتحة أعلى أو أسفل)

الصيغة الرأسية (Vertex Form)

$y - k = a(x - h)^2$

الصيغة القياسية (Standard Form)

$y = ax^2 + bx + c$

عندما $a > 0$

القطع المكافئ يفتح أعلى (مقعر للأعلى)

عندما $a < 0$

القطع المكافئ يفتح أسفل (مقعر للأسفل)

ب) القطع المكافئ الأفقي (فتحة يمين أو يسار)

الصيغة الأفقية

$x - h = a(y - k)^2$

3. خصائص القطع المكافئ

العلاقة بين المعاملات والخصائص الهندسية

الرأس: $(h, k)$ في الصيغة الرأسية
محور التماثل: $x = h$ للقطع الرأسي، $y = k$ للقطع الأفقي
المسافة البؤرية: $p = \frac{1}{4|a|}$
البؤرة: $(h, k + p)$ إذا فتح أعلى، $(h, k - p)$ إذا فتح أسفل
الدليل: $y = k - p$ إذا فتح أعلى، $y = k + p$ إذا فتح أسفل

4. أمثلة تطبيقية

مثال 1: تحليل قطع مكافئ بسيط

المعادلة: $y = x^2$

الرأس: $(0, 0)$
$a = 1 > 0$ لذا يفتح أعلى
$p = \frac{1}{4 \times 1} = 0.25$
البؤرة: $(0, 0.25)$
الدليل: $y = -0.25$
محور التماثل: $x = 0$ (المحور الصادي)

مثال 2: قطع مكافئ منقول ومتمدد

المعادلة: $y - 3 = -2(x - 1)^2$

الرأس: $(1, 3)$
$a = -2 < 0$ لذا يفتح أسفل
$p = \frac{1}{4 \times |-2|} = \frac{1}{8} = 0.125$
البؤرة: $(1, 3 - 0.125) = (1, 2.875)$
الدليل: $y = 3 + 0.125 = 3.125$
محور التماثل: $x = 1$

مثال 3: تحويل من الصيغة القياسية إلى الرأسية

المعادلة: $y = x^2 - 4x + 7$

خطوات إكمال المربع:

$y = x^2 - 4x + 7$

$y = x^2 - 4x + 4 - 4 + 7$

$y = (x - 2)^2 + 3$

$y - 3 = (x - 2)^2$

النتيجة: الرأس عند $(2, 3)$ والقطع يفتح أعلى

5. التطبيقات العملية للقطع المكافئ

الفيزياء والهندسة

مسارات المقذوفات تحت تأثير الجاذبية
تصميم الجسور المعلقة
عاكسات الأقمار الصناعية
كشافات السيارات والمصابيح

الرياضيات والاقتصاد

دوال التكلفة والربح
نمذجة الظواهر الطبيعية
مسائل الأمثلة (إيجاد القيم العظمى والصغرى)
تحليل البيانات والإحصاء

مثال من الحياة: كشاف السيارة

يُوضع المصباح في بؤرة المرآة الكاشفة ذات الشكل المكافئ. جميع الأشعة الضوئية المنعكسة تسير بشكل متوازي، مما يخلق حزمة ضوء قوية ومركزة.

6. نصائح لحل مسائل القطع المكافئ

💡 خطوات منهجية

حدد نوع القطع: رأسي أم أفقي؟
اعرف الصيغة: رأسية، قياسية، أم عامة؟
اعثر على الرأس: استخدم إكمال المربع إذا لزم الأمر
حدد الاتجاه: من إشارة المعامل $a$
احسب البؤرة والدليل: باستخدام $p = \frac{1}{4|a|}$
ارسم القطع: ابدأ بالرأس ومحور التماثل

7. الأخطاء الشائعة

⚠️ أخطاء يجب تجنبها

الخلط بين إحداثيات الرأس في الصيغة $(x-h)$ و $(y-k)$
عدم مراعاة إشارة المعامل $a$ لتحديد اتجاه الفتحة
الخطأ في حساب المسافة البؤرية $p$
نسيان أن البؤرة والدليل على جانبين متقابلين من الرأس
الخلط بين القطع المكافئ الرأسي والأفقي

نقطة مهمة: القطع المكافئ هو الشكل الأمثل لتجميع أو توزيع الموجات (ضوء، صوت، راديو) بسبب خاصيته الانعكاسية الفريدة. هذا ما يجعله أساسياً في تصميم الهوائيات والمرايا.

الخلاصة المهمة

القطع المكافئ منحنى هندسي مهم يُعرَّف بتساوي المسافة من كل نقطة عليه إلى البؤرة والدليل. له صيغ رياضية متعددة وخصائص هندسية مميزة. تطبيقاته واسعة في الفيزياء والهندسة بسبب خصائصه الانعكاسية والبصرية الفريدة.