معادلة القطع الناقص القياسية وتأثير كل عنصر على شكل القطع المخروطي

القطع الناقص هو أحد القطوع المخروطية المهمة، وهو مجموعة جميع النقاط التي مجموع المسافتين منها إلى نقطتين ثابتتين (البؤرتين) يساوي مقداراً ثابتاً.

يظهر القطع الناقص في مدارات الكواكب والأقمار، المرايا الإهليلجية، الهندسة المعمارية وله تطبيقات واسعة في الفلك والفيزياء والهندسة.

جاري تحميل EllipseSimulator...

1. تعريف القطع الناقص هندسياً

القطع الناقص هو المحل الهندسي لجميع النقاط التي مجموع بُعديها عن نقطتين ثابتتين (البؤرتين) يساوي مقداراً ثابتاً.

التعريف الرياضي: إذا كانت $F_1$ و $F_2$ هما البؤرتان، فإن أي نقطة $P(x,y)$ على القطع الناقص تحقق: $PF_1 + PF_2 = 2a$ (ثابت)

المركز (Center)

نقطة منتصف القطعة المستقيمة بين البؤرتين

البؤرتان (Foci)

النقطتان الثابتتان المستخدمتان في تعريف القطع الناقص

الرؤوس (Vertices)

النقاط الأقرب والأبعد من المركز على القطع الناقص

2. معادلة القطع الناقص

أ) القطع الناقص الأفقي (المحور الرئيسي أفقي)

الصيغة القياسية - مركز في الأصل

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)$

الصيغة العامة - مركز في $(h,k)$

$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

ب) القطع الناقص العمودي (المحور الرئيسي عمودي)

$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \quad (a > b > 0)$

$a$

نصف طول المحور الرئيسي

$b$

نصف طول المحور الفرعي

$c$

المسافة من المركز للبؤرة

3. العلاقات الهندسية للقطع الناقص

العلاقة الأساسية

$c^2 = a^2 - b^2$

خصائص مهمة:

المحور الرئيسي: طوله $2a$ (الأطول)
المحور الفرعي: طوله $2b$ (الأقصر)
البؤرتان: تقعان على المحور الرئيسي، تبعدان $c$ عن المركز
الشرط: $a > b > 0$ دائماً
عندما $a = b$ : يصبح القطع الناقص دائرة

4. الانحراف اللامركزي (Eccentricity)

تعريف الانحراف اللامركزي

$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$

$e = 0$

دائرة مثالية ( $a = b$ )

$0 < e < 1$

قطع ناقص (كلما قل $e$ ، كلما اقترب من الدائرة)

$e = 1$

قطع مكافئ

5. أمثلة تطبيقية

مثال 1: تحليل قطع ناقص بسيط

المعادلة: $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$

التحليل:

$a^2 = 25 \Rightarrow a = 5$
$b^2 = 16 \Rightarrow b = 4$
$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 16 = 9 \Rightarrow c = 3$
المركز: $(0, 0)$
البؤرتان: $(\pm 3, 0)$ (أفقي لأن $a > b$ )
الرؤوس: $(\pm 5, 0)$ و $(0, \pm 4)$
الانحراف اللامركزي: $e = \frac{3}{5} = 0.6$

مثال 2: قطع ناقص منقول

المعادلة: $\frac{(x-2)^2}{9} + \frac{(y+1)^2}{36} = 1$

التحليل:

المركز: $(2, -1)$
$a^2 = 36 \Rightarrow a = 6$ (تحت $y$ لأنها أكبر)
$b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$
$c = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$
عمودي لأن المحور الرئيسي في اتجاه $y$
البؤرتان: $(2, -1 \pm 3\sqrt{3})$
الانحراف اللامركزي: $e = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$

مثال 3: إيجاد معادلة قطع ناقص

المطلوب: معادلة قطع ناقص مركزه $(0,0)$ ، بؤرتاه $(\pm 4, 0)$ ، وأحد رؤوسه $(6, 0)$

الحل:

$c = 4, \quad a = 6$

$b^2 = a^2 - c^2 = 36 - 16 = 20$

$b = 2\sqrt{5}$

المعادلة: $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1$

6. التطبيقات العملية للقطع الناقص

الفلك والفضاء

مدارات الكواكب حول الشمس
مدارات الأقمار الصناعية
مدارات النجوم المزدوجة
مسارات المذنبات

الهندسة والتقنية

المرايا الإهليلجية في الطب
تصميم القباب والأقواس
عدسات الكاميرات والتلسكوبات
الهوائيات الإهليلجية

مثال من الحياة: تفتيت حصوات الكلى

تستخدم الأجهزة الطبية المرايا الإهليلجية لتفتيت حصوات الكلى. توضع الحصاة في إحدى البؤرتين، ومصدر الموجات الصوتية في البؤرة الأخرى. جميع الموجات المنعكسة تتركز على الحصاة لتفتيتها.

7. مقارنة القطوع المخروطية

الدائرة

$e = 0$

$a = b$

القطع الناقص