شرح جمع وطرح المصفوفات

جمع وطرح المصفوفات (Matrix Addition and Subtraction)

جمع وطرح المصفوفات من العمليات الأساسية في الجبر الخطي. تتم هذه العمليات عنصر بعنصر (Element-wise) مع شرط أساسي مهم.

الشرط الأساسي: يمكن جمع أو طرح مصفوفتين فقط إذا كان لهما نفس الأبعاد (نفس عدد الصفوف ونفس عدد الأعمدة).

1. شرط الأبعاد المتساوية

لكي نتمكن من جمع أو طرح مصفوفتين، يجب أن تكون أبعادهما متطابقة تماماً.

مثال: إذا كانت المصفوفة A من النوع $3 \times 2$ ، فيجب أن تكون المصفوفة B من النوع $3 \times 2$ أيضاً.

✓ عمليات ممكنة

$2 \times 3$ مع $2 \times 3$
$4 \times 1$ مع $4 \times 1$
$1 \times 5$ مع $1 \times 5$

✗ عمليات غير ممكنة

$2 \times 3$ مع $3 \times 2$
$4 \times 1$ مع $1 \times 4$
$2 \times 2$ مع $3 \times 3$

2. جمع المصفوفات

عند جمع مصفوفتين، نقوم بجمع العناصر المتناظرة (في نفس الموضع) في المصفوفتين.

الصيغة العامة لجمع المصفوفات

$C = A + B$

$c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$

مثال 1: جمع مصفوفتين $2 \times 2$

$A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$

$A + B = \begin{bmatrix} 2+4 & 5+1 \\ 1+2 & 3+6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 6 \\ 3 & 9 \end{bmatrix}$

مثال 2: جمع مصفوفتين $3 \times 2$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$

$A + B = \begin{bmatrix} 1+2 & 4+3 \\ 3+1 & 2+5 \\ 5+4 & 1+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 4 & 7 \\ 9 & 3 \end{bmatrix}$

3. طرح المصفوفات

طرح المصفوفات يتم بنفس طريقة الجمع، لكن نطرح العناصر المتناظرة بدلاً من جمعها.

الصيغة العامة لطرح المصفوفات

$C = A - B$

$c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$

مثال 3: طرح مصفوفتين $2 \times 3$

$A = \begin{bmatrix} 8 & 5 & 2 \\ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

$A - B = \begin{bmatrix} 8-3 & 5-2 & 2-1 \\ 6-4 & 3-1 & 1-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{bmatrix}$

4. خصائص جمع وطرح المصفوفات

خصائص الجمع

الإبدال: $A + B = B + A$
التجميع: $(A + B) + C = A + (B + C)$
العنصر المحايد: $A + O = A$
العكس الجمعي: $A + (-A) = O$

خصائص الطرح

غير إبدالي: $A - B \neq B - A$
$A - B = A + (-B)$
$A - A = O$ (المصفوفة الصفرية)
$(A - B) - C = A - (B + C)$

5. أمثلة متقدمة

مثال 4: عمليات متتالية

احسب: $2A + 3B - C$ حيث:

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$

$2A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}, \quad 3B = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 3 & 9 \end{bmatrix}$

$2A + 3B = \begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 9 & 17 \end{bmatrix}$

$2A + 3B - C = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 7 & 16 \end{bmatrix}$

6. الأخطاء الشائعة

⚠️ أخطاء يجب تجنبها

محاولة جمع أو طرح مصفوفات بأبعاد مختلفة
الخلط بين ترتيب العناصر في المصفوفة
اعتبار عملية الطرح إبدالية (وهي ليست كذلك)
نسيان إشارة السالب عند طرح الأعداد السالبة

7. التطبيقات العملية

في الاقتصاد

حساب التغيير في المبيعات، المقارنة بين الميزانيات، تحليل البيانات المالية

في الهندسة

معالجة الصور، تحليل الإشارات، العمليات على الشبكات والمخططات

نقطة مهمة: تأكد دائماً من تطابق أبعاد المصفوفات قبل إجراء عمليات الجمع أو الطرح. هذا شرط أساسي لا يمكن تجاهله.

الخلاصة المهمة

جمع وطرح المصفوفات يتطلب تطابق الأبعاد تماماً. العمليات تتم عنصر بعنصر، وخصائص الجمع تشمل الإبدال والتجميع، بينما الطرح ليس إبدالياً. هذه العمليات أساسية في الجبر الخطي ولها تطبيقات واسعة في العلوم والهندسة.