شرح طريقة ضرب المصفوفات

ضرب المصفوفات (Matrix Multiplication)

ضرب المصفوفات عملية أساسية في الجبر الخطي تختلف عن الجمع والطرح. يتم الضرب وفق قاعدة الصف في العمود (Row by Column) مع شرط أبعاد محدد.

الشرط الأساسي: يمكن ضرب المصفوفة A في المصفوفة B فقط إذا كان عدد أعمدة A يساوي عدد صفوف B.

1. شرط إمكانية الضرب

لضرب مصفوفتين A و B، يجب أن يكون عدد أعمدة A = عدد صفوف B.

الشرط العام

$A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = C_{m \times p}$

مثال: يمكن ضرب مصفوفة $3 \times 2$ في مصفوفة $2 \times 4$ للحصول على مصفوفة $3 \times 4$ .

✓ ضرب ممكن

$(2 \times 3) \cdot (3 \times 4) = (2 \times 4)$
$(1 \times 5) \cdot (5 \times 2) = (1 \times 2)$
$(4 \times 1) \cdot (1 \times 6) = (4 \times 6)$

✗ ضرب غير ممكن

$(2 \times 3) \cdot (2 \times 4)$ ❌
$(3 \times 2) \cdot (3 \times 4)$ ❌
$(4 \times 1) \cdot (2 \times 6)$ ❌

2. قاعدة الضرب: الصف في العمود

كل عنصر في المصفوفة الناتجة يُحسب بضرب صف من المصفوفة الأولى في عمود من المصفوفة الثانية.

الصيغة العامة

$c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}$

مثال 1: ضرب مصفوفتين $2 \times 2$

$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$

حساب كل عنصر:

$c_{11} = (2)(5) + (3)(2) = 10 + 6 = 16$

$c_{12} = (2)(1) + (3)(3) = 2 + 9 = 11$

$c_{21} = (1)(5) + (4)(2) = 5 + 8 = 13$

$c_{22} = (1)(1) + (4)(3) = 1 + 12 = 13$

$A \cdot B = \begin{bmatrix} 16 & 11 \\ 13 & 13 \end{bmatrix}$

مثال 2: ضرب مصفوفات بأبعاد مختلفة $(2 \times 3) \cdot (3 \times 2)$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix}$

حساب العناصر:

$c_{11} = (1)(7) + (2)(9) + (3)(11) = 7 + 18 + 33 = 58$

$c_{12} = (1)(8) + (2)(10) + (3)(12) = 8 + 20 + 36 = 64$

$c_{21} = (4)(7) + (5)(9) + (6)(11) = 28 + 45 + 66 = 139$

$c_{22} = (4)(8) + (5)(10) + (6)(12) = 32 + 50 + 72 = 154$

$A \cdot B = \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix}$

3. خصائص ضرب المصفوفات

⚠️ خصائص لا تنطبق

غير إبدالي: $A \cdot B \neq B \cdot A$
لا يوجد قسمة: لا يمكن "قسمة" المصفوفات
الصفر لا يعني صفر: $A \cdot B = O$ لا يعني $A = O$ أو $B = O$

✓ خصائص تنطبق

التجميع: $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$
التوزيع: $A(B + C) = AB + AC$
مصفوفة الوحدة: $A \cdot I = I \cdot A = A$

4. أنواع خاصة من ضرب المصفوفات

أ) الضرب القياسي (Scalar Multiplication)

$3 \cdot \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 12 \\ 3 & 9 \end{bmatrix}$

ب) ضرب المتجهات (Vector Multiplication)

الضرب النقطي (Dot Product):

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} = 1(4) + 2(5) + 3(6) = 32$

الضرب الخارجي (Outer Product):

$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$

ج) مصفوفة الوحدة (Identity Matrix)

$I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

لأي مصفوفة A: $A \cdot I = I \cdot A = A$

5. مثال متقدم: ضرب ثلاث مصفوفات

احسب: $A \cdot B \cdot C$ حيث:

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$

الحل خطوة بخطوة:

$A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 9 \end{bmatrix}$

$(A \cdot B) \cdot C = \begin{bmatrix} 7 & 9 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 44 \end{bmatrix}$

6. الأخطاء الشائعة

⚠️ أخطاء يجب تجنبها

محاولة ضرب مصفوفات بأبعاد غير متوافقة
اعتبار ضرب المصفوفات إبدالياً ( $A \cdot B = B \cdot A$ )
الخطأ في ترتيب الصف والعمود أثناء الحساب
نسيان جمع كل حاصلات الضرب في الصيغة
الخلط بين أبعاد المصفوفة الناتجة

7. التطبيقات العملية

الرياضيات والفيزياء

التحويلات الهندسية، حل أنظمة المعادلات، ميكانيكا الكم، الشبكات العصبية

علوم الحاسوب

رسومات الحاسوب، معالجة الصور، تعلم الآلة، قواعد البيانات العلائقية

نقطة مهمة: ضرب المصفوفات ليس إبدالياً، لذا ترتيب المصفوفات في الضرب مهم جداً. تأكد دائماً من توافق الأبعاد قبل الضرب.

الخلاصة المهمة

ضرب المصفوفات يتطلب توافق الأبعاد (عدد أعمدة الأولى = عدد صفوف الثانية) ويتم بقاعدة الصف في العمود. العملية غير إبدالية ولها خصائص مختلفة عن ضرب الأعداد العادية. تطبيقاتها واسعة في الرياضيات والعلوم والهندسة.