قاعدة كرامر

قاعدة كرامر - Cramer's Rule

1️⃣ فهم قاعدة كرامر لحل أنظمة المعادلات الخطية
2️⃣ تعلم كيفية تكوين المصفوفات والمحددات
3️⃣ إتقان خطوات حساب المحددات للمصفوفات
4️⃣ تطبيق القانون للحصول على قيم x و y
5️⃣ حل أمثلة عملية خطوة بخطوة

📐 مقدمة إلى قاعدة كرامر

قاعدة كرامر هي طريقة لحل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام المحددات (Determinants). هذه الطريقة بديلة لطرق أخرى مثل طريقة النظير الضربي (المعكوس).

نظام المعادلات العام

{ a₁₁x + a₁₂y = b₁ { a₂₁x + a₂₂y = b₂
نظام من معادلتين خطيتين بمجهولين x و y

🔄 الخطوة الأولى: ترتيب المعادلات

أول خطوة هي ترتيب المعادلات بحيث تكون متغيرات x تحت بعضها البعض، ومتغيرات y تحت بعضها البعض.

مثال للتوضيح

المعادلات الأصلية:

{ 3x + 2y = 7 { x - y = 1

بعد الترتيب:

| x | y | = | |---|---|---| | 3 | 2 | 7 | | 1 | -1| 1 |

الآن يمكننا تكوين المصفوفات بسهولة

🏗️ الخطوة الثانية: تكوين المصفوفات

نقوم بتكوين ثلاث مصفوفات: المصفوفة الرئيسية، ومصفوفة x، ومصفوفة y.

المصفوفات الثلاث

المصفوفة الرئيسية

D = |3 2 | |1 -1|

معاملات المتغيرات

مصفوفة x

Dₓ = |7 2 | |1 -1|

استبدال عمود x

مصفوفة y

Dᵧ = |3 7| |1 1|

استبدال عمود y

🧮 الخطوة الثالثة: حساب المحددات

نحسب محددة (Determinant) كل مصفوفة باستخدام قانون المحددة للمصفوفة 2×2.

حساب المحددات

قانون المحددة للمصفوفة 2×2

|a b| = ad - bc |c d|

حساب المحددة الرئيسية (D):

D = |3 2 | = 3(-1) - 2(1) = -3 - 2 = -5 |1 -1|

حساب محددة x (D_x):

Dₓ = |7 2 | = 7(-1) - 2(1) = -7 - 2 = -9 |1 -1|

حساب محددة y (D_y):

Dᵧ = |3 7| = 3(1) - 7(1) = 3 - 7 = -4 |1 1|

✅ الخطوة الرابعة: تطبيق قاعدة كرامر

الآن نطبق قاعدة كرامر للحصول على قيم x و y.

قاعدة كرامر

قانون x

x = Dₓ/D

قانون y

y = Dᵧ/D
x = Dₓ/D = -9/-5 = 9/5 = 1.8
y = Dᵧ/D = -4/-5 = 4/5 = 0.8

🔍 التحقق من الحل

دعنا نتحقق من صحة الحل بالتعويض في المعادلات الأصلية.

التحقق من الحل

المعادلة الأولى:

3x + 2y = 7
3(1.8) + 2(0.8) = 5.4 + 1.6 = 7 ✓

المعادلة الثانية:

x - y = 1
1.8 - 0.8 = 1 ✓
الحل صحيح: x = 1.8, y = 0.8

🧠 ملخص الخطوات

خطوات قاعدة كرامر

  1. ترتيب المعادلات - ضع المتغيرات المتشابهة تحت بعض
  2. تكوين المصفوفة الرئيسية - من معاملات المتغيرات
  3. تكوين مصفوفات المتغيرات - باستبدال الأعمدة
  4. حساب المحددات - استخدم قانون 2×2
  5. تطبيق القاعدة - x = Dx/D, y = Dy/D
  6. التحقق - عوّض في المعادلات الأصلية

🎯 قواعد مهمة

  • شرط الحل: المحددة الرئيسية D ≠ 0 (وإلا فالنظام ليس له حل وحيد)
  • ترتيب المعادلات: ضروري قبل تكوين المصفوفات
  • استبدال الأعمدة: لتكوين مصفوفات المتغيرات نستبدل العمود المناسب
  • قانون المحددة: للمصفوفة 2×2 هو ad - bc
  • التحقق ضروري: للتأكد من صحة الحل

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
168
الدرس التالي
المصفوفاتأساسيات المصفوفات
جاري تحميل التعليقات...