تمارين وشروحات تفاعلية — أساسيات التكامل
كتاب تفاعلي يبني أساسيات التكامل خطوة بخطوة: من مفهوم المساحة تحت المنحنى إلى قواعد التكامل وخواصه وحساب التكامل المحدد، بتمارين متدرجة مع تلميحات وحلول مفصّلة.
قوانين التكامل الأساسية
| التكامل المحدد | ∫ba f(x) dx = F(b) − F(a) |
|---|---|
| تكامل الدالة الثابتة | ∫ k dx = kx + C |
| قاعدة القوة | ∫ xn dx = xn+1n + 1 + C n ≠ −1 |
| القاعدة اللوغاريتمية | ∫ 1x dx = ln|x| + C |
| تكامل الدالة الأسية | ∫ ex dx = ex + C |
| إخراج الثابت | ∫ c·f(x) dx = c ∫ f(x) dx |
| تكامل المجموع | ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx |
| حساب التكامل المحدد | [F(x)]ba = F(b) − F(a) |
لماذا هذا الكورس؟
- تفهم التكامل قبل أن تحفظه: أول سبع مهارات تشرح معنى التكامل والمساحة تحت المنحنى بالصور والأمثلة، ثم تأتي القوانين واحدًا واحدًا.
- كل مهارة فيديو قصير ثم أسئلة تصحّح نفسها فورًا، مع تلميحة وحل مصوّر لكل سؤال — لا تنتقل وأنت لا تعرف أين أخطأت.
- مناسب لطلاب ثالث ثانوي والسنة التحضيرية في الجامعة، ولا يحتاج إلا معرفة بسيطة بالدوال. مجاني وبلا تسجيل.
أسئلة شائعة عن التكامل
ما هو التكامل ببساطة؟
التكامل هو حساب المساحة المحصورة بين منحنى الدالة ومحور السينات بين نقطتين، أو جمع كميات صغيرة جدًا للوصول إلى كمية كلية. نرمز له بالرمز ∫، ويُكتب التكامل المحدد بين a وb على الصورة ∫ₐᵇ f(x) dx.
ما الفرق بين التكامل المحدد وغير المحدد؟
التكامل غير المحدد ينتج دالة تُسمى الدالة الأصلية F(x) ويُضاف إليها ثابت C، أما التكامل المحدد فله حدّان a وb وينتج عددًا يساوي F(b) − F(a).
لماذا نضيف الثابت C في التكامل؟
لأن مشتقة أي ثابت تساوي صفرًا، فكل الدوال F(x) + C لها المشتقة نفسها f(x). في التكامل المحدد يختفي C لأنه يُطرح من نفسه: (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a).
ما قانون قاعدة القوة في التكامل؟
تكامل xⁿ يساوي xⁿ⁺¹ مقسومًا على (n + 1) زائد C، بشرط أن يكون n ≠ −1. أما عند n = −1 فتكامل 1/x يساوي ln|x| + C.
ما العلاقة بين التكامل والاشتقاق؟
كل منهما عكس الآخر: إذا كانت مشتقة F(x) هي f(x)، فإن تكامل f(x) هو F(x) + C. هذه هي النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل، وهي ما يجعل التكامل المحدد يُحسب بالفرق F(b) − F(a).
كم يحتاج تعلّم أساسيات التكامل من وقت؟
الكورس سبع عشرة مهارة، كل مهارة فيديو قصير وبضعة أسئلة، أي نحو ثلاث ساعات في المجموع. بمعدل ثلاث مهارات يوميًا تنهيه في أسبوع.