ميل المستقيمات و التوازي
المستقيمات المتوازية والميل
الرياضيات — الهندسة التحليلية
الهدف: فهم مفهوم الميل وشرط توازي المستقيمين وتطبيقه على أمثلة عملية.
مراجعة مفهوم الميل
— الميل هو مقياس انحدار المستقيم، ويُحسب من خلال نقطتين عليه.
— نأخذ النقطة الثانية ونطرح منها النقطة الأولى في كلا الإحداثيين.
ملاحظة
— ترتيب النقاط مهم: يجب أن تطرح النقطة الأولى من الثانية بشكل متسق في البسط والمقام.
شرط توازي المستقيمين
— إذا كان ميل مستقيمين متساويين، فإن المستقيمين متوازيان.
— العكس صحيح: المستقيمان المتوازيان لهما دائماً ميل متساوٍ.
ملاحظة
— المستقيمان المتوازيان لا يتقاطعان أبداً، وإذا تقاطعا فهما في الحقيقة نفس المستقيم.
تأثير الميل على اتجاه المستقيم
ملاحظة
— الميل الموجب: المستقيم يرتفع من اليسار إلى اليمين.
— الميل السالب: المستقيم ينخفض من اليسار إلى اليمين.
— الميل = صفر: مستقيم أفقي.
استكشاف التوازي والتقاطع
مثال ١ — مستقيمان متوازيان
— المستقيم الأول يمر بالنقطتين (٢، ١) و (٤، ٣).
— المستقيم الثاني يمر بالنقطتين (١، ٠) و (٣، ٢).
— هل المستقيمان متوازيان؟
— نحسب ميل المستقيم الأول:
— نحسب ميل المستقيم الثاني:
— بما أن الميلين متساويان:
المستقيمان متوازيان
مثال ٢ — مستقيمان متقاطعان
— المستقيم الأول يمر بالنقطتين (٠، ٠) و (٢، ٢).
— المستقيم الثاني يمر بالنقطتين (٠، ٠) و (١، ٣).
— هل المستقيمان متوازيان؟
— نحسب ميل المستقيم الأول:
— نحسب ميل المستقيم الثاني:
— بما أن الميلين مختلفان:
المستقيمان متقاطعان — ليسا متوازيين
ملخص
الخلاصة
— الميل: يُحسب بقسمة فرق إحداثيات y على فرق إحداثيات x بين نقطتين.
— التوازي: شرطه الوحيد هو تساوي الميلين تماماً.
— التقاطع: يحدث عند اختلاف الميلين مهما كانت قيمة الفرق.
— خطوات الحل: احسب m₁، ثم احسب m₂، ثم قارن بينهما.
اختبار: المستقيمات المتوازية والميل
1 / 7في هذا الدرس سنكمل الحديث عن ميل المستقيمات، ونتعرف على العلاقة بين الميل والتوازي.
تعلمنا في الدرس السابق أن ميل المستقيم يساوي فرق الإحداثيين الصاديين (ΔY) مقسومًا على فرق الإحداثيين السينيين (ΔX)، مع مراعاة طرح إحداثيات النقطة الواقعة إلى اليمين من إحداثيات النقطة الواقعة إلى اليسار بنفس الترتيب في البسط والمقام.
القاعدة الأساسية هي أنه إذا كان لمستقيمين الميل نفسه، فإنهما يكونان متوازيين.
كلما زادت قيمة الميل الموجب، ازداد ميل المستقيم وأصبح أكثر انحدارًا، ولذلك يختلف اتجاه المستقيم باختلاف قيمة الميل.
فإذا رسمنا عدة مستقيمات بميول مختلفة مثل: 1، 2، 3، 4، و5، سنلاحظ أن اتجاه كل مستقيم يختلف عن الآخر تبعًا لقيمة ميله.
وإذا رسمنا مجموعة أخرى من المستقيمات في مكان مختلف من المستوى الإحداثي، ولكن بنفس قيم الميول السابقة، فإن كل مستقيم سيكون موازيًا للمستقيم الذي يملك الميل نفسه، حتى لو كان يقطع محور **X** أو محور **Y** في نقطة مختلفة.
أما إذا اختلف الميل بين مستقيمين، فإنهما لن يكونا متوازيين، بل سيتقاطعان عند نقطة ما إذا امتدّا.
لذلك، لمعرفة ما إذا كان مستقيمان متوازيين، نحسب ميل كل مستقيم ثم نقارن بينهما، فإذا كانت قيمتا الميل متساويتين فإن المستقيمين متوازيان، وإذا اختلفتا فالمستقيمان غير متوازيين.
عن هذا الدرس
إذا كان ميل مستقيم 5 فميل المستقيم الموازي له 5 أيضًا: شرط التوازي تساوي الميلين. قانون الميل m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)، ومعنى الميل الموجب والسالب… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.