اختبر فهمك

1

ما هو شرط تعامد مستقيمين؟

الشرح

المستقيمات المتعامدة ومعادلات المستقيم

الرياضيات — الهندسة التحليلية

الهدف: فهم شرط تعامد المستقيمين وكتابة معادلة المستقيم بصيغتين مختلفتين.

التعامد

حاصل ضرب الميلين يساوي −1

الصيغة الأولى

ميل ونقطة تقاطع مع y

الصيغة الثانية

ميل ونقطة على المستقيم

١

المستقيمات المتعامدة وعلاقة الميل

— إذا كان مستقيمان متعامدَين، فحاصل ضرب ميلَيهما يساوي −1.

— العكس صحيح: إذا كان حاصل الضرب −1 فالمستقيمان متعامدان.

m_1 \times m_2 = -1

ملاحظة

— يمكن كتابة العلاقة بشكل آخر: ميل أحد المستقيمين هو السالب لمعكوس ميل الآخر.

m_2 = \frac{-1}{m_1}

٢

مثال ١ — التحقق من التعامد

— مستقيم أول ميله 4، ومستقيم ثانٍ ميله −¼.

— هل هما متعامدان؟

— نحسب حاصل الضرب:

m_1 \times m_2 = 4 \times \left(\frac{-1}{4}\right) = -1

المستقيمان متعامدان

٣

مثال ٢ — حساب الميل من نقاط والتحقق

— المستقيم الأول يمر بالنقطتين D(6, 1) و C(3, 2).

— المستقيم الثاني يمر بالنقطتين B(−1, −5) و A(1, 1).

— نحسب ميل المستقيم الأول:

m_1 = \frac{1 - 2}{6 - 3} = \frac{-1}{3}

— نحسب ميل المستقيم الثاني:

m_2 = \frac{1 - (-5)}{1 - (-1)} = \frac{6}{2} = 3

— نتحقق من التعامد:

m_1 \times m_2 = \frac{-1}{3} \times 3 = -1

المستقيمان متعامدان

٤

استكشاف التعامد

م١ 1

٥

صيغتا معادلة المستقيم

— الصيغة الأولى: نعرف الميل ونقطة التقاطع مع محور y.

y = mx + b

— الصيغة الثانية: نعرف الميل ونقطة على المستقيم.

y - y_1 = m(x - x_1)

ملاحظة

— الصيغتان متكافئتان، ونختار منهما حسب المعطيات المتاحة في المسألة.

٦

مثال ١ — الصيغة الأولى

— مستقيم ميله 3 ويتقاطع مع محور y عند −2.

— نعوض مباشرةً في الصيغة:

y = 3x + (-2)

y = 3x − 2

٧

مثال ٢ — الصيغة الثانية

— مستقيم ميله −¾ ويمر بالنقطة (−2، 5).

— نعوض في الصيغة الثانية:

y - 5 = \frac{-3}{4}(x - (-2))

y - 5 = \frac{-3}{4}(x + 2)

y − 5 = −¾(x + 2)

٨

مثال ٣ — إيجاد المعادلة من نقطتين

— النقطة الأولى (0، 3) والنقطة الثانية (−2، −1).

— الخطوة الأولى: نحسب الميل:

m = \frac{3 - (-1)}{0 - (-2)} = \frac{4}{2} = 2

— الخطوة الثانية: نكتب المعادلة باستخدام النقطة (0، 3):

y - 3 = 2(x - 0)

— نتحقق بالنقطة الثانية (−2، −1):

-1 = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1 \checkmark

y = 2x + 3

٩

استكشاف معادلة المستقيم

الميل 1

b 0

ملخص

المفهوم	القاعدة
التعامد	m₁ × m₂ = −1
الميل العمودي	m₂ = −1 ÷ m₁
الصيغة الأولى	y = mx + b
الصيغة الثانية	y − y₁ = m(x − x₁)
من نقطتين	احسب m أولاً، ثم استخدم إحدى الصيغتين

الخلاصة

— التعامد: شرطه أن يكون حاصل ضرب الميلين مساوياً −1.

— الصيغة الأولى: تُستخدم عند معرفة الميل ونقطة التقاطع مع محور y.

— الصيغة الثانية: تُستخدم عند معرفة الميل وأي نقطة على المستقيم.

— من نقطتين: نحسب الميل أولاً، ثم نختار الصيغة الملائمة.

— التحقق: نعوض أي نقطة معلومة في المعادلة للتأكد من صحتها.

حل بالخطوات

1

التحقق من التعامد: مستقيم ميله 4 ومستقيم آخر ميله -¼

2

إيجاد الميل المتعامد: إذا كان ميل المستقيم = ⅔، ما هو ميل المستقيم المتعامد عليه؟

3

التحقق من التعامد باستخدام النقاط: D(6,1), C(3,2) والمستقيم الثاني B(-1,-5), A(1,1)

4

معادلة المستقيم بالصيغة y = mx + b: ميل = 3، التقاطع مع محور Y عند -2

5

معادلة المستقيم بصيغة النقطة والميل: ميل = -¾، يمر بالنقطة (-2, 5)

6

إيجاد معادلة المستقيم من نقطتين: (0, 3) و (-2, -1)

7

إيجاد معادلة مستقيم متعامد: المستقيم y = 2x + 1، إيجاد معادلة المستقيم المتعامد عليه والمار بالنقطة (4, 1)

8

مسألة تطبيقية: إيجاد معادلة خط الوسط العمودي للقطعة المستقيمة بين النقطتين A(2, 4) و B(6, 2)

الميل و تعامد المستقيمات