الأجزاء المتناسبة للمستقيمات المتوازية

الهندسة — نظرية التناسب

الهدف: فهم نظرية الأجزاء المتناسبة وتطبيقها لإيجاد الأطوال المجهولة.

النظرية

AB/BC = A'B'/B'C'

الاستقلالية

النسبة لا تتأثر بزاوية التقاطع

التطبيق

حل المعادلات الجبرية

نص النظرية — تفاعلي

— إذا قطع مستقيمان ثلاثة مستقيمات متوازية، فإن النسبة بين أي قطعتين على المستقيم الأول تساوي النسبة بين القطعتين المناظرتين على المستقيم الثاني.

— حرّك السلايدرات لتغيير أطوال AB وBC وزاوية التقاطع، وشاهد كيف تبقى النسبة ثابتة.

AB 50

BC 30

الزاوية 55°

\frac{AB}{BC} = \frac{A'B'}{B'C'}

حالة التساوي — النسبة = 1:

\frac{AB}{BC} = 1 \implies AB = BC \implies A'B' = B'C'

— إذا كانت القطعتان على المستقيم الأول متساويتين، فالقطعتان المناظرتان على المستقيم الثاني متساويتان أيضاً.

حالة النصف — النسبة = ½:

\frac{AB}{BC} = \frac{1}{2} \implies \frac{A'B'}{B'C'} = \frac{1}{2}

ملاحظة

— النسبة تبقى ثابتة بغض النظر عن زاوية تقاطع المستقيمين القاطعين مع المتوازيات.

المعطيات

— ثلاثة مستقيمات متوازية مع مستقيمين قاطعين.

— القطعتان على المستقيم الأول متساويتان.

— القطعة الأولى على المستقيم الثاني = $4x + 3$ ، والثانية = $6x - 5$ .

— المطلوب: إيجاد $x$ .

— بما أن النسبة = 1، فإن القطعتين المناظرتين متساويتان:

4x + 3 = 6x - 5

4x - 6x = -5 - 3 \implies -2x = -8 \implies x = 4

التحقق عند x = 4

— القطعة الأولى = 4(4)+3 = 19

— القطعة الثانية = 6(4)−5 = 19 ✓

x = 4 | كل قطعة = 19 وحدة

الخاصية	التفصيل
الاستقلالية عن الزاوية	النسبة ثابتة بغض النظر عن زاوية القاطعين
التعميم	تعمل مع أي عدد من المتوازيات
حالة التساوي	AB = BC ← A'B' = B'C'
الربط بنظرية المثلث	أساس نظرية التناسب في المثلث

— النظرية: إذا قاطعَ مستقيمان ثلاثةَ مستقيمات متوازية، تتساوى النسبة بين القطع المتناظرة.

— القانون: $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A'B'}{B'C'}$

— الاستقلالية: النسبة لا تتأثر بزاوية التقاطع.

— الربط: هذه النظرية هي أساس نظرية التناسب في المثلث.