دوران نقطة حول مركز
رياضيات — الهندسة والتحويلات
المسافة من المركز C محفوظة دائماً
الزاوية بين النقطة الأصلية وصورتها = زاوية الدوران
| الخاصية | التفصيل |
|---|---|
| المسافة محفوظة | |CA| = |CA'| دائماً |
| الزاوية | ∠ACA' = θ |
| المركز ثابت | إذا A = C فـ A' = A |
| الاتجاه الموجب | عكس عقارب الساعة |
| 360° | A' = A (دوران كامل) |
— الزاوية بين النقطة الأصلية والصورة حول المركز = زاوية الدوران θ.
— إذا كانت النقطة هي المركز نفسه → تبقى في مكانها A' = A.
— عكس عقارب الساعة = الاتجاه الموجب في الرياضيات.
الدوران حول نقطة ثابتة
الدوران هو أحد التحويلات الهندسية، وفيه يدور الشكل حول نقطة ثابتة تسمى **مركز الدوران**.
أثناء الدوران تبقى المسافة بين كل نقطة ومركز الدوران ثابتة، بينما يتغير اتجاه النقطة بحسب زاوية الدوران.
دوران نقطة حول مركز الدوران
إذا كانت النقطة تقع على مركز الدوران نفسه، فإنها لا تتغير مهما كانت زاوية الدوران، لأنها تدور حول نفسها وتبقى في مكانها.
أما إذا كانت النقطة تبعد عن مركز الدوران، فإنها تتحرك على مسار دائري، مع المحافظة على نفس بعدها عن المركز.
دوران شكل هندسي
عند تدوير شكل هندسي مثل المثلث، فإننا ندور كل رأس من رؤوسه حول مركز الدوران بالزاوية نفسها.
بعد إيجاد مواقع الرؤوس الجديدة، نصل بينها لنحصل على صورة الشكل بعد الدوران.
الدوران في المستوى الإحداثي
في المستوى الإحداثي توجد قواعد مختصرة للدوران حول **نقطة الأصل** عند الزوايا الخاصة:
- 90° - 180° - 270°
وتساعد هذه القواعد على إيجاد صورة النقطة مباشرة دون الحاجة إلى الرسم.
قاعدة الدوران 90°
إذا كانت النقطة:
\[ (x,\;y) \]
فإن صورتها بعد دوران **90° عكس اتجاه عقارب الساعة** حول نقطة الأصل تصبح:
\[ (-y,\;x) \]
أي نغيّر إشارة الإحداثي الصادي، ثم نبدّل موقعي \(x\) و\(y\).
قاعدة الدوران 180°
إذا كانت النقطة:
\[ (x,\;y) \]
فإن صورتها بعد دوران **180°** تصبح:
\[ (-x,\;-y) \]
أي نغيّر إشارة الإحداثيين معاً.
فمثلاً:
\[ (5,\;2)\rightarrow(-5,\;-2) \]
قاعدة الدوران 270°
إذا كانت النقطة:
\[ (x,\;y) \]
فإن صورتها بعد دوران **270° عكس اتجاه عقارب الساعة** تصبح:
\[ (y,\;-x) \]
أي نبدّل الإحداثيين، ثم نغيّر إشارة الإحداثي السيني الأصلي.
فمثلاً:
\[ (5,\;2)\rightarrow(2,\;-5) \]
ملاحظة مهمة
جميع قواعد الدوران السابقة تنطبق فقط إذا كان الدوران حول **نقطة الأصل**.
أما إذا كان مركز الدوران نقطة أخرى، فلا يمكن استخدام هذه القواعد مباشرة، بل يجب أولاً مراعاة موقع مركز الدوران ثم إجراء عملية الدوران.
الخلاصة
الدوران هو تحويل هندسي يحافظ على شكل الجسم وأبعاده، ويغيّر موقعه واتجاهه حول مركز دوران ثابت.
وعند الدوران حول نقطة الأصل يمكن استخدام القواعد التالية:
- **90°:** \((x,\;y)\rightarrow(-y,\;x)\) - **180°:** \((x,\;y)\rightarrow(-x,\;-y)\) - **270°:** \((x,\;y)\rightarrow(y,\;-x)\)
وتُستخدم هذه القواعد فقط عندما يكون مركز الدوران هو نقطة الأصل.
عن هذا الدرس
الدوران حول نقطة ثابتة الدوران هو أحد التحويلات الهندسية، وفيه يدور الشكل حول نقطة ثابتة تسمى **مركز الدوران**. أثناء الدوران تبقى المسافة بين كل نقطة… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.
