الأعداد الحقيقية (Real Numbers)

اختبر فهمك

اختبار الأعداد الحقيقية اختبار الأعداد الحقيقية

1 / 12

اختبار تفاعلي على الأعداد الحقيقية

س1

ما هي المجموعة التي تحتوي على الأعداد المستخدمة في العد الطبيعي فقط؟

الأعداد الطبيعية

\mathbb{N}

الأعداد الكلية

\mathbb{W}

الأعداد الصحيحة

\mathbb{Z}

الأعداد النسبية

\mathbb{Q}

س2

أي من الأعداد التالية ينتمي للأعداد الكلية

\mathbb{W}

وليس للأعداد الطبيعية

\mathbb{N}

0

1

5

-2

س3

المجموعة

\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}

تمثل:

الأعداد الطبيعية

الأعداد الصحيحة

الأعداد النسبية

الأعداد غير النسبية

س4

أي من الأعداد التالية يُعتبر عدداً نسبياً؟

\frac{3}{7}

\sqrt{2}

\pi

e

س5

العدد

0.333...

(الكسر العشري الدوري) يساوي:

\frac{1}{4}

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}

عدد غير نسبي

س6

أي من الأعداد التالية يُعتبر عدداً غير نسبي؟

0.5

\frac{22}{7}

\sqrt{2}

-\frac{3}{4}

س7

العلاقة الصحيحة بين مجموعات الأعداد هي:

\mathbb{N} \subset \mathbb{W} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

\mathbb{W} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{W} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

\mathbb{Z} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{W} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

س8

ما هو تقريب العدد

\pi

(باي) لأقرب جزء من المئة؟

3.13

3.14

3.15

3.16

س9

إذا كان العدد

x

ينتمي للأعداد الصحيحة، فأي من العبارات التالية صحيحة؟

x

يجب أن يكون موجباً

x

لا يمكن أن يكون صفراً

x

لا يحتوي على كسور

x

يجب أن يكون أكبر من 1

س10

العدد النسبي يمكن كتابته على الشكل

\frac{a}{b}

حيث:

a, b \in \mathbb{N}

b = 0

a, b \in \mathbb{Z}

b \neq 0

a, b \in \mathbb{R}

b = 1

a, b \in \mathbb{Q}

a > b

س11

أي من الاستخدامات التالية مناسب للأعداد الطبيعية؟

عدد الطلاب في الفصل

درجة الحرارة في الشتاء

رصيد حساب بنكي بالدين

قياس الطول بالسنتيمتر

س12

ما هي الخاصية المميزة للأعداد غير النسبية؟

يمكن كتابتها ككسر

لها عدد محدود من الأرقام بعد الفاصلة

تحتاج لعدد لا نهائي من الأرقام غير الدورية بعد الفاصلة

هي أعداد سالبة فقط

الشرح

مجموعة الأعداد الحقيقية مجموعة الأعداد الحقيقية

مجموعة الأعداد الحقيقية

رحلة عبر خط الأعداد من الطبيعية إلى الحقيقية

مقدمة: الأعداد الحقيقية والتخيلية

في عالم الرياضيات، لدينا مجموعتان رئيسيتان:

الأعداد الحقيقية: جميع الأعداد الموجودة على خط الأعداد
الأعداد التخيلية: أعداد خاصة تحتوي على الوحدة التخيلية $i$ (سندرسها لاحقاً)

في هذا الدرس، سنركز على الأعداد الحقيقية وننظر إلى خط الأعداد من $-\infty$ إلى $+\infty$ .

كل الأرقام الموجودة على هذا الخط هي أعداد حقيقية.

خط الأعداد التفاعلي

اختر مجموعة الأعداد:

مستوى التكبير:

المستوى: 2

التسلسل الهرمي لمجموعات الأعداد

كل مجموعة تشمل المجموعة التي تحتها:

الأعداد الحقيقية ℝ

الأعداد غير النسبية

الأعداد النسبية ℚ

الأعداد الصحيحة ℤ

الأعداد الكلية 𝕎

الأعداد الطبيعية ℕ

مجموعة (1): الأعداد الطبيعية ℕ

تعريف الأعداد الطبيعية

الأعداد الطبيعية هي الأعداد التي نستخدمها للعد الطبيعي:

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...\}

خصائص مهمة:

تبدأ من الرقم 1
لا تشمل الصفر (نقطة مهمة جداً)
لا تشمل الكسور أو الأعداد العشرية
لا تشمل الأعداد السالبة
تستمر إلى ما لا نهاية

مثال: عند عد الأشياء نقول: واحد، اثنان، ثلاثة... هذه هي الأعداد الطبيعية

مجموعة (2): الأعداد الكلية 𝕎

تعريف الأعداد الكلية

الأعداد الكلية = الأعداد الطبيعية + الصفر:

\mathbb{W} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...\}

العلاقة مع الأعداد الطبيعية:

\mathbb{W} = \mathbb{N} \cup \{0\}

أي أن الأعداد الكلية تشمل جميع الأعداد الطبيعية بالإضافة إلى الصفر

الفرق الوحيد: إضافة العدد صفر إلى مجموعة الأعداد الطبيعية

مجموعة (3): الأعداد الصحيحة ℤ

تعريف الأعداد الصحيحة

الأعداد الصحيحة تشمل الأعداد الموجبة والسالبة والصفر:

\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}

خصائص الأعداد الصحيحة:

تشمل جميع الأعداد الكلية
تشمل الأعداد السالبة: $..., -3, -2, -1$
تحقق التناظر حول الصفر
لا تزال لا تشمل الكسور

التناظر: لكل عدد موجب يوجد نظيره السالب:

+3

-3

+7

-7

مجموعة (4): الأعداد النسبية ℚ

تعريف الأعداد النسبية

الأعداد النسبية هي الأعداد التي يمكن كتابتها على شكل كسر:

\mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b} : a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\}

أمثلة على الأعداد النسبية:

\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{-5}{7}, \frac{22}{7}, 0.75, 0.333...

لماذا تشمل الأعداد الصحيحة؟

لأن أي عدد صحيح يمكن كتابته على شكل كسر:

1 = \frac{2}{2}, \quad 4 = \frac{8}{2}, \quad -4 = \frac{-8}{2}

سبب التسمية: تسمى "نسبية" لأنها تمثل النسبة بين عددين صحيحين

الأعداد المشهورة غير النسبية

العدد π (باي)

\pi = 3.14159265...

محيط الدائرة ÷ قطرها

العدد e (أويلر)

e = 2.71828182...

أساس اللوغاريتم الطبيعي

الجذر التربيعي

\sqrt{2} = 1.41421356...

أول عدد غير نسبي تم اكتشافه

النسبة الذهبية

\phi = 1.61803398...

النسبة الجمالية في الطبيعة

مجموعة (5): الأعداد غير النسبية

تعريف الأعداد غير النسبية

الأعداد غير النسبية هي الأعداد التي لا يمكن كتابتها على شكل كسر $\frac{a}{b}$ :

خصائص الأعداد غير النسبية:

لا تنتهي ولا تتكرر في التمثيل العشري
تملأ الفراغات بين الأعداد النسبية
أكبر بكثير من مجموعة الأعداد النسبية
تشمل معظم الجذور والثوابت الرياضية

مفاجأة رياضية:

بين أي عددين نسبيين (مثل $\frac{1}{4}$ و $\frac{1}{2}$ ) يوجد عدد لا نهائي من الأعداد غير النسبية!

حقيقة مذهلة: مجموعة الأعداد غير النسبية أكبر بما لا يقاس من مجموعة الأعداد النسبية

مثال (1): تصنيف الأعداد

صنف الأعداد التالية إلى مجموعاتها

الأعداد المعطاة:

5, -3, \frac{2}{7}, 0, \sqrt{3}, \pi, -\frac{1}{4}, 0.25, \sqrt{16}

التصنيف:

طبيعية: $5$
كلية: $5, 0$
صحيحة: $5, -3, 0, 4$ (حيث $\sqrt{16} = 4$ )
نسبية: $5, -3, \frac{2}{7}, 0, -\frac{1}{4}, 0.25, 4$
غير نسبية: $\sqrt{3}, \pi$

ملاحظة:

0.25 = \frac{1}{4}

لذا هو عدد نسبي، و

\sqrt{16} = 4

عدد صحيح

مثال (2): البرهان على أن √2 غير نسبي

برهان بالتناقض

الفرضية:

نفترض أن $\sqrt{2}$ عدد نسبي، أي يمكن كتابته على شكل $\frac{p}{q}$ حيث $p, q$ أعداد صحيحة و $q \neq 0$

التبسيط:

نفترض أن $\frac{p}{q}$ في أبسط صورة (أي أن $p$ و $q$ أوليان نسبياً)

\sqrt{2} = \frac{p}{q}

تربيع الطرفين:

2 = \frac{p^2}{q^2}

2q^2 = p^2

الاستنتاج:

هذا يعني أن $p^2$ عدد زوجي، وبالتالي $p$ عدد زوجي. لنكتب $p = 2k$ :

2q^2 = (2k)^2 = 4k^2

q^2 = 2k^2

هذا يعني أن $q$ أيضاً عدد زوجي!

التناقض: إذا كان كل من

p

q

زوجي، فإن

\frac{p}{q}

ليس في أبسط صورة، مما يناقض فرضيتنا. لذا

\sqrt{2}

غير نسبي.

مثال (3): كثافة الأعداد غير النسبية

أوجد عدداً غير نسبي بين 0.3 و 0.4

الطريقة الأولى: استخدام π

\frac{\pi}{10} = \frac{3.14159...}{10} = 0.314159...

هذا العدد يقع بين 0.3 و 0.4 وهو غير نسبي

الطريقة الثانية: استخدام الجذور

\frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{1.41421...}{4} = 0.35355...

هذا العدد أيضاً يقع بين 0.3 و 0.4 وهو غير نسبي

النتيجة: يمكن إيجاد عدد لا نهائي من الأعداد غير النسبية في أي فترة مهما كانت صغيرة

مثال (4): العمليات على الأعداد الحقيقية

ما نوع ناتج العمليات التالية؟

نسبي + نسبي:

\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

غير نسبي + غير نسبي:

\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}

\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0

نسبي × غير نسبي:

3 \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}

0 \times \sqrt{2} = 0

خلاصة: نوع الناتج يعتمد على العملية والأعداد المحددة، وليس فقط على نوع الأعداد الأصلية

مثال (5): تطبيقات عملية

أمثلة من الحياة العملية

في الهندسة:

طول قطر المربع الذي طول ضلعه 1 هو $\sqrt{2}$ (غير نسبي)
محيط دائرة نصف قطرها 1 هو $2\pi$ (غير نسبي)

في الفيزياء:

ثابت أويلر $e$ يظهر في النمو الأسي والاضمحلال الإشعاعي
النسبة الذهبية $\phi$ تظهر في أشكال كثيرة في الطبيعة

في التكنولوجيا:

الحاسوب يمثل الأعداد غير النسبية بدقة محدودة
$\pi$ يستخدم في برمجة الرسومات والألعاب

الأهمية: الأعداد غير النسبية ضرورية لوصف العالم الطبيعي والتكنولوجي بدقة

خلاصة مهمة

مجموعة الأعداد الحقيقية تتكون من:

الأعداد النسبية: التي يمكن كتابتها على شكل كسر
الأعداد غير النسبية: التي لا يمكن كتابتها على شكل كسر

معاً، هاتان المجموعتان تغطيان كامل خط الأعداد من $-\infty$ إلى $+\infty$ .

وبشكل مدهش، الأعداد غير النسبية أكثر بكثير من الأعداد النسبية على خط الأعداد!

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا

👨‍💻

ثالث ثانوي الفصل الأول

جاري تحميل التعليقات...