الدالة الأسية: دالة النمو والاضمحلال الأسي

الدوال الأسية هي نوع مميز من الدوال حيث يكون المتغير x موجوداً في الأس وليس في الأساس كما تعودنا في الدوال السابقة.

هذا عكس ما اعتدنا عليه في الدوال الخطية ودوال كثيرات الحدود والدالة المقلوبة ودالة القيمة المطلقة حيث كان x في الأساس.

جاري تحميل ExponentialSimulator...

1. تعريف الدالة الأسية

إذا كانت x في الأس، فهذا يعني أننا سنضرب العدد في نفسه مرات متكررة عندما نتحرك يميناً على المحور السيني.

مثال: لو عندنا العدد 2: نضربه في نفسه مرتين → 4، ثم أربع مرات → 16، ثم ثمان مرات → 256

الصيغة العامة للدالة الأسية

$f(x) = a \cdot b^{(x-h)} + k$

2. خصائص الدالة الأسية حسب الأساس

الأساس > 1

دالة أسية متزايدة (دالة النمو الأسي)

الأساس = 1

خط مستقيم ليس دالة أسية

0 < الأساس < 1

دالة أسية متناقصة (دالة الاضمحلال الأسي)

3. تقاطع الدالة الأسية مع المحاور

عندما تكون x = 0 (تقاطع مع محور y)، فإن أي عدد أس صفر = 1

النتيجة المهمة: جميع الدوال الأسية تتقاطع مع محور y عند النقطة (0, 1)

4. سلوك الدالة عند القيم السالبة للـ x

عندما تكون x سالبة، نتعامل مع الأس السالب. ونعلم أن $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

مثال: الأساس = 2 (أكبر من 1)

$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
$2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$

كلما اتجهنا يساراً (x أكثر سالبية)، كلما اقتربت القيم من الصفر

مثال: الأساس = 1/2 (بين 0 و 1)

$\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2^1 = 2$
$\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4$
$\left(\frac{1}{2}\right)^{-7} = 2^7 = 128$

هنا الدالة تتزايد كلما زادت القيمة السالبة

5. التطبيقات العملية

دالة النمو الأسي

تستخدم في نماذج نمو الكائنات الحية والأموال لأن القيمة التالية تعتمد على القيمة الحالية

دالة الاضمحلال الأسي

تستخدم في نماذج التحلل الإشعاعي وتناقص المواد والأدوية في الجسم

الخلاصة المهمة

الدالة الأسية تتميز بوضع المتغير x في الأس، وسلوكها يعتمد على قيمة الأساس. جميع الدوال الأسية تمر بالنقطة (0,1) وتستخدم في نمذجة العمليات الطبيعية والاقتصادية.