المتجهات في المستوى الإحداثي

اختبر فهمك

اختبار: المتجهات في المستوى الإحداثي

1
ما هي الصورة الإحداثية للمتجه؟

أسئلة متوقعة

مسائل محلولة: المتجهات في المستوى الإحداثي

ثلاث مسائل محلولة بالتفصيل على إيجاد المتجهات وحساب أطوالها

1

إيجاد المتجه بالصورة الإحداثية

السؤال:

متجه يبدأ من النقطة A(-3, 5) وينتهي في النقطة B(4, -2)
المطلوب: أوجد المتجه بالصورة الإحداثية

المستوى الإحداثي

x y A(-3,5) B(4,-2)

الحل:

الخطوة 1: تحديد المعطيات

• نقطة البداية: A(-3, 5)
• نقطة النهاية: B(4, -2)
• المطلوب: المتجه بالصورة الإحداثية

الخطوة 2: تطبيق القاعدة

دائماً نبدأ بنقطة النهاية
\vec{v} = \langle x_2 - x_1, \, y_2 - y_1 \rangle

الخطوة 3: حساب فرق الإحداثيات

فرق الإحداثي السيني: 4 - (-3) = 4 + 3 = 7
فرق الإحداثي الصادي: -2 - 5 = -7
\vec{v} = \langle 7, -7 \rangle

الإجابة النهائية: \vec{v} = \langle 7, -7 \rangle

2

حساب طول المتجه

السؤال:

متجه يبدأ من النقطة (1, 2) وينتهي في النقطة (7, 10)
المطلوب: احسب طول المتجه

المستوى الإحداثي

x y (1,2) (7,10) |v| = ?

الحل:

الخطوة 1: تحديد المعطيات

• نقطة البداية: (1, 2)
• نقطة النهاية: (7, 10)
• المطلوب: طول المتجه

الخطوة 2: استخدام قانون طول المتجه

نطبق نظرية فيثاغورس
|\vec{v}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

الخطوة 3: التعويض في القانون

فرق السينات: 7 - 1 = 6 → (6)^2 = 36
فرق الصادات: 10 - 2 = 8 → (8)^2 = 64
|\vec{v}| = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10

الإجابة النهائية: طول المتجه = 10

3

مسألة شاملة: الصورة الإحداثية والطول

السؤال:

متجه يبدأ من النقطة (-5, -1) وينتهي في النقطة (7, 5)
المطلوب: أ) أوجد المتجه بالصورة الإحداثية
ب) احسب طول المتجه

المستوى الإحداثي

x y (-5,-1) (7,5)

الحل:

الخطوة 1: تحديد المعطيات

• نقطة البداية: (-5, -1)
• نقطة النهاية: (7, 5)

الخطوة 2: إيجاد المتجه بالصورة الإحداثية (الجزء أ)

فرق الإحداثي السيني: 7 - (-5) = 7 + 5 = 12
فرق الإحداثي الصادي: 5 - (-1) = 5 + 1 = 6
\vec{v} = \langle 12, 6 \rangle

الخطوة 3: حساب طول المتجه (الجزء ب)

|\vec{v}| = \sqrt{(12)^2 + (6)^2}
= \sqrt{144 + 36}
= \sqrt{180}
= \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5}
\approx 13.4

الإجابة النهائية:
أ) \vec{v} = \langle 12, 6 \rangle
ب) طول المتجه = 6\sqrt{5} \approx 13.4

ملخص القوانين المستخدمة

الصورة الإحداثية للمتجه

\vec{v} = \langle x_2 - x_1, \, y_2 - y_1 \rangle

المسائل 1 و 3

طول المتجه

|\vec{v}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

المسائل 2 و 3

نصائح مهمة لحل مسائل المتجهات

• دائماً ابدأ بنقطة النهاية عند حساب الفرق
• استخدم القوس ⟨ ⟩ للمتجهات وليس ( )
• تأكد من الإشارات السالبة عند الطرح
• طول المتجه دائماً قيمة موجبة
• ارسم المستوى الإحداثي للتوضيح
• طبق نظرية فيثاغورس لحساب الطول

الشرح

المتجهات في المستوى الإحداثي

الموضوع: إيجاد المتجهات بالصورة الإحداثية وحساب طولها

المفاهيم: الصورة الإحداثية للمتجه، طول المتجه، نقطة البداية والنهاية

الهدف: تعلم كيفية إيجاد متجه من نقطتين في المستوى الإحداثي وحساب طوله

المقدمة

في هذا الدرس سنتعلم مفهومين مهمين عن المتجهات
نتحدث عن المستوى الإحداثي حيث يُعطينا نقاط مثل \((2, 3)\) أو \((4, 5)\)، وقد تكون إحداها نقطة البداية والأخرى نقطة النهاية.

المفهومان الأساسيان:
• المفهوم الأول: كيف نطلع متجه بمعرفة نقطة بدايته ونقطة نهايته في المستوى الإحداثي
• المفهوم الثاني: كيف نطلع طول هذا المتجه أو قيمته بمعرفة النقطتين

1 المفهوم الأول: إيجاد المتجه بالصورة الإحداثية

الصورة الإحداثية للمتجه تعني أن نقطة بدايته تكون نقطة الأصل
1
ما هي الصورة الإحداثية؟
نسحب نقطة البداية إلى نقطة الأصل من غير ما نغير اتجاه المتجه ولا طوله، يعني من غير ما نغير الاتجاه ولا قيمة المتجه.

كيف نحصل على هذا؟
• نطلع فرق الإحداثي السيني
• نطلع فرق الإحداثي الصادي
• دائماً نبدأ في نقطة النهاية
2
القاعدة العامة
\vec{v} = \langle x_2 - x_1, \, y_2 - y_1 \rangle

حيث \((x_1, y_1)\) نقطة البداية و \((x_2, y_2)\) نقطة النهاية
توضيح: كيف نحصل على الصورة الإحداثية؟
المتجه الأصلي (x₁,y₁) (x₂,y₂) → نسحب إلى الأصل الصورة الإحداثية (0,0) ⟨x₂-x₁, y₂-y₁⟩ x₂-x₁ y₂-y₁
نسحب المتجه من موقعه الأصلي إلى نقطة الأصل مع المحافظة على اتجاهه وطوله
مثال 1
المعطيات:
نقطة البداية: \(A = (-4, 2)\)
نقطة النهاية: \((3, -5)\)

الحل:
فرق الإحداثي السيني: \(3 - (-4) = 3 + 4 = 7\)
فرق الإحداثي الصادي: -5 - 2 = -7

النتيجة:
\vec{v} = \langle 7, -7 \rangle

ملاحظة مهمة: لاحظ أننا حطينا القوس بطريقة مختلفة \langle \rangle، وهذه الطريقة تختلف عن طريقة النقاط \(()\). القوس \langle \rangle يعني أننا نعبر عن متجه بالصورة الإحداثية وليس نقطة.
رسم المثال على المستوى الإحداثي
x y 0 3 -4 2 -5 A(-4, 2) (3, -5) v⃗ 7 -7 v⃗ = ⟨7, -7⟩
المتجه من \((-4, 2)\) إلى \((3, -5)\) له صورة إحداثية \langle 7, -7 \rangle
النتيجة: نرسم متجه من نقطة الأصل إلى النقطة التي نحصل عليها من الفرق

2 المفهوم الثاني: طول المتجه في المستوى الإحداثي

1
القاعدة العامة
|\vec{v}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

طول المتجه = الجذر التربيعي لـ (فرق الصينات² + فرق الصادات²)
توضيح: استخدام نظرية فيثاغورس
(0,0) (x,y) |v⃗| x y |v⃗| = √(x² + y²)
المتجه هو الوتر في مثلث قائم الزاوية، والمركبتان الأفقية والعمودية هما الضلعان الآخران
2
لماذا نستخدم القيمة المطلقة؟
نأخذ القيمة المطلقة أولاً عشان لو في إشارة سالب تطلع، لأن ما في طول بالسالب. الطول دائماً قيمة موجبة.
مثال 1 (تكملة)
نفس المتجه السابق من \((-4, 2)\) إلى \((3, -5)\)
المتجه بالصورة الإحداثية: \langle 7, -7 \rangle

الحل:
فرق الصينات: \(7 \rightarrow (7)^2 = 49\)
فرق الصادات: \(-7 \rightarrow (-7)^2 = 49\)
|\vec{v}| = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98}

النتيجة:
طول المتجه \approx 9.9
مثال 2
المعطيات:
نقطة البداية: \((0, 8)\)
نقطة النهاية: \((-9, -3)\)

الحل:
أولاً: نطلع فرق الصينات (دائماً نبدأ بنقطة النهاية)
\(-9 - 0 = -9 \rightarrow (-9)^2 = 81\)

ثانياً: نطلع فرق الصادات
\(-3 - 8 = -11 \rightarrow (-11)^2 = 121\)

ثالثاً: نحسب الطول
|\vec{v}| = \sqrt{81 + 121} = \sqrt{202}

النتيجة:
طول المتجه \approx 14.2
طول المتجه يُحسب باستخدام نظرية فيثاغورس

نقاط مهمة للتذكر

الصورة الإحداثية

نبدأ من نقطة الأصل
↓
نحسب الفرق
↓
نستخدم القوس \langle \rangle

القاعدة الذهبية

دائماً نبدأ
بنقطة النهاية
عند حساب الفرق

طول المتجه

دائماً موجب
↓
نستخدم الجذر
↓
نطبق فيثاغورس

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
15
الدرس التالي
ثالث ثانويالفصل الثاني
جاري تحميل التعليقات...