المتجهات في المستوى الإحداثي

إيجاد المتجه وطوله من نقطتين في المستوى الإحداثي

الموضوع: كيفية إيجاد المتجه بالصورة الإحداثية وحساب طوله من نقطتي البداية والنهاية

المفاهيم: الصورة الإحداثية للمتجه، فرق الإحداثيات، طول المتجه، نظرية فيثاغورس

الهدف: تعلم كيفية تحويل المتجه إلى الصورة الإحداثية وحساب طوله باستخدام نقطتي البداية والنهاية في المستوى الإحداثي

المقدمة

في هذا الدرس راح نتعلم مفهومين مهمين عن المتجهات

نتكلم عن المستوى الإحداثي، حيث يُعطينا نقاط مثل (2, 3) أو (4, 5)، وقد تكون إحداها نقطة البداية والأخرى نقطة النهاية.

المفهوم الأول:
كيف نطلع متجه بمعرفة نقطة بدايته ونقطة نهايته في المستوى الإحداثي

المفهوم الثاني:
كيف نطلع طول هذا المتجه أو قيمته بمعرفة النقطتين هذول

نبدأ في المفهوم الأول: الصورة الإحداثية للمتجه

1 المفهوم الأول: الصورة الإحداثية للمتجه

الصورة الإحداثية تعني أن نقطة بدايتها تكون نقطة الأصل

1

ما معنى الصورة الإحداثية؟

إيش يعني صورة إحداثية؟

يعني نقطة بدايتها تكون نقطة الأصل (0, 0)

نسحب نقطة البداية إلى نقطة الأصل من غير ما نغير:
• الاتجاه
• طول المتجه (القيمة)

كيف نحصل على هذا الشيء؟
نطلع فرق الإحداث السيني وفرق الإحداث الصادي
ودائماً نبدأ في نقطة النهاية

2

القانون الرياضي

⟨x, y⟩ = ⟨x₂ - x₁, y₂ - y₁⟩

حيث:
• (x₁, y₁) هي نقطة البداية
• (x₂, y₂) هي نقطة النهاية
• ⟨x, y⟩ هي الصورة الإحداثية للمتجه

3

مثال تفصيلي

لو عندنا متجه:

نقطة البداية A(-4, 2)
نقطة النهاية B(3, -5)

الخطوات:

أولاً: نطلع فرق الإحداث السيني (دائماً نبدأ بنقطة النهاية)

الإحداث السيني = 3 - (-4)
سالب مع سالب موجب
= 3 + 4 = 7

ثانياً: نطلع فرق الإحداث الصادي

الإحداث الصادي = -5 - 2
= -7

النتيجة:

⟨7, -7⟩

فنرسم متجه من نقطة الأصل إلى نقطة (7, -7)

ملاحظة: لاحظ أننا حطينا القوس بطريقة مختلفة ⟨⟩
طريقة القوس هذه تختلف عن طريقة النقاط ()
إذا شفنا القوس ⟨⟩، فمعناته إننا نعبر عن متجه بالصورة الإحداثية وليس نقطة

نرسم متجه من نقطة الأصل إلى النقطة التي نحصل عليها من الفرق

2 المفهوم الثاني: طول المتجه في المستوى الإحداثي

إذا علمنا نقطتين (نقطة البداية ونقطة النهاية)

1

القاعدة الأساسية

دائماً في عالم الهندسة إذا بنطلع الطول بين نقطتين:

أول شيء: نأخذ القيمة المطلقة |...| عشان لو في إشارة سالب تطلع
(لأن ما في طول بالسالب)

ثاني شيء: نطبق نظرية فيثاغورس

|AB| = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

طول المتجه = الجذر التربيعي لـ (فرق الصينات² + فرق الصادات²)

2

مثال: نرجع للمسألة السابقة

A(-4, 2) إلى B(3, -5)
فرق الصينات = 7
فرق الصادات = -7

راح نقول:

فرق الصينات تربيع = 7² = 49

زائد

فرق الصادات تربيع = (-7)² = 49

المجموع = 49 + 49 = 98

تحت الجذر = √98

الطول ≈ 9.9

طول المتجه يُحسب باستخدام نظرية فيثاغورس

3 مثال ثاني

نأخذ نقطة ثانية كمثال

1

المعطيات

نقطة بداية المتجه: C(0, 8)
نقطة النهاية: D(-9, -3)

2

الحل خطوة بخطوة

أولاً: نطلع فرق الصينات (ودائماً نبدأ في نقطة النهاية)

فرق الصينات = -9 - 0
= -9

نربعه: (-9)² = 81

ثانياً: نطلع فرق الصادات

فرق الصادات = -3 - 8
= -11

نربعه: (-11)² = 121

ثالثاً: نحسب الطول

المجموع = 81 + 121 = 202

نأخذ الجذر: √202

الطول ≈ 14.2

نفس الطريقة: نربع الفروق ونجمعها ثم نأخذ الجذر

4 التمثيل البصري: نظرية فيثاغورس

طول المتجه يمثل الوتر في مثلث قائم الزاوية

نظرية فيثاغورس: مربع الوتر = مجموع مربعي الضلعين

5 الفرق بين الرموز

طريقة كتابة النقاط تختلف عن طريقة كتابة المتجهات

النقاط

نستخدم القوس العادي ()

A(2, 3)
B(-4, 5)

تمثل موقع في المستوى الإحداثي

المتجهات

نستخدم القوس المدبب ⟨⟩

⟨7, -7⟩
⟨-9, -11⟩

تمثل متجه بالصورة الإحداثية

القوس () للنقاط | القوس ⟨⟩ للمتجهات بالصورة الإحداثية

الملخص النهائي

الصورة الإحداثية

⟨x₂ - x₁, y₂ - y₁⟩
↓
دائماً نبدأ بنقطة النهاية
↓
نرسم من الأصل

طول المتجه

√[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]
↓
نربع الفروق
↓
نجمع ثم نأخذ الجذر

ملاحظات مهمة:
• دائماً نبدأ بنقطة النهاية عند حساب الفرق
• عند التربيع، الإشارة السالبة تصبح موجبة
• الطول دائماً موجب (ما في طول سالب)
• القوس ⟨⟩ للمتجهات والقوس () للنقاط

تمارين محلولة: إيجاد المتجه وطوله من نقطتين

مسائل تطبيقية على إيجاد المتجه بالصورة الإحداثية وحساب طوله

1

إيجاد المتجه بالصورة الإحداثية

السؤال:

أوجد المتجه بالصورة الإحداثية من النقطة A(2, 5) إلى النقطة B(8, 9)
المطلوب: المتجه بالصورة الإحداثية ⟨x, y⟩

رسم المتجه في المستوى الإحداثي

الحل:

الخطوة 1: تحديد المعطيات

• نقطة البداية: A(2, 5)

• نقطة النهاية: B(8, 9)

• المطلوب: المتجه بالصورة الإحداثية ⟨x, y⟩

الخطوة 2: تطبيق القانون

القانون الأساسي:

⟨x, y⟩ = ⟨x₂ - x₁, y₂ - y₁⟩

دائماً نبدأ بنقطة النهاية ناقص نقطة البداية

الخطوة 3: التعويض في القانون

x = x₂ - x₁ = 8 - 2 = 6

y = y₂ - y₁ = 9 - 5 = 4

⟨6, 4⟩

الإجابة النهائية: ⟨6, 4⟩

المتجه بالصورة الإحداثية

2

حساب طول المتجه

السؤال:

احسب طول المتجه من النقطة P(1, 2) إلى النقطة Q(7, 10)
المطلوب: طول المتجه |PQ|

رسم المتجه والمثلث القائم

الحل:

الخطوة 1: تحديد المعطيات

• نقطة البداية: P(1, 2)

• نقطة النهاية: Q(7, 10)

• المطلوب: الطول |PQ|

الخطوة 2: حساب فرق الإحداثيات

Δx = x₂ - x₁ = 7 - 1 = 6

Δy = y₂ - y₁ = 10 - 2 = 8

الخطوة 3: تطبيق قانون المسافة (نظرية فيثاغورس)

|PQ| = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]

الخطوة 4: التعويض والحساب

|PQ| = √[(6)² + (8)²]

|PQ| = √[36 + 64]

|PQ| = √100

|PQ| = 10

الإجابة النهائية: 10

(مثلث 6-8-10 الشهير)

3

مسألة شاملة: المتجه والطول

السؤال:

من النقطة M(-3, 1) إلى النقطة N(5, 7)
المطلوب:
أ) أوجد المتجه بالصورة الإحداثية
ب) احسب طول المتجه

رسم المتجه في المستوى الإحداثي

الحل:

الخطوة 1: تحديد المعطيات

• نقطة البداية: M(-3, 1)

• نقطة النهاية: N(5, 7)

الجزء أ: المتجه بالصورة الإحداثية

الخطوة 2: حساب فرق الإحداثيات

x = x₂ - x₁ = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8

y = y₂ - y₁ = 7 - 1 = 6

المتجه = ⟨8, 6⟩

الجزء ب: طول المتجه

الخطوة 3: تطبيق قانون الطول

|MN| = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]

|MN| = √[(8)² + (6)²]

|MN| = √[64 + 36]

|MN| = √100

|MN| = 10

الإجابة النهائية:

أ) المتجه = ⟨8, 6⟩

ب) الطول = 10

المتجه بالصورة الإحداثية من الأصل

ملخص القوانين المستخدمة

الصورة الإحداثية للمتجه

⟨x₂ - x₁, y₂ - y₁⟩

المسائل 1, 3

طول المتجه

√[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]

المسائل 2, 3

نصائح مهمة لحل المسائل

• دائماً ابدأ بنقطة النهاية ثم اطرح نقطة البداية

• استخدم القوس المدبب ⟨⟩ للمتجهات فقط

• عند التربيع، السالب يصبح موجب

• الطول دائماً قيمة موجبة

• تحقق من إجابتك بالتعويض في القانون

• ارسم المتجه للتأكد من المنطقية

ثالث ثانوي الفصل الثاني

جاري تحميل التعليقات...

دروس ذات صلة

المتجهات وتحديد الاتجاه

الثانوية

المحصلة ومركبات المتجهات

الثانوية

الاحداثيات القطبية و مقارنتها بالديكارتية

الثانوية

الإحداثيات القطبية (Polar Coordinates)

الثانوية

المسافة بين نقطتين في الإحداثيات القطبية

الثانوية